第4章グラフ

4.7 Graphs of Linear Inequalities4.7　一次不等式のグラフ

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:

英語のヒント

この節を終えると、次のことができるようになる。

Verify solutions to an inequality in two variables
英語のヒント
2変数の不等式の解を確かめる
Recognize the relation between the solutions of an inequality and its graph
英語のヒント
不等式の解とグラフの関係を理解する
Graph linear inequalities
英語のヒント
一次不等式のグラフを描く

Before You Begin (3)準備問題（3題）

Verify Solutions to an Inequality in Two Variables2変数の不等式の解を確かめる

We have learned how to solve inequalities in one variable. Now, we will look at inequalities in two variables. Inequalities in two variables have many applications. If you ran a business, for example, you would want your revenue to be greater than your costs—so that your business would make a profit.

英語のヒント

1変数の不等式を解く方法を学んだ。次に、2変数の不等式を見る。2変数の不等式には多くの応用がある。たとえば事業を営むなら、利益が出るように、収入が費用を上回ることを望むだろう。

Do you remember that an inequality with one variable had many solutions? The solution to the inequality

x > 3

is any number greater than 3. We showed this on the number line by shading in the number line to the right of 3, and putting an open parenthesis at 3. See Figure 4.30.

英語のヒント

1変数の不等式には多くの解があったことを覚えているだろうか。不等式

x > 3

の解は、3より大きいあらゆる数である。数直線では、3の右側に色を付け、3の位置に丸括弧を置いて表した。図4.30を参照する。

−5から5までの数直線。正の3に丸括弧があり、そこから正の無限大へ矢印が伸びている。 — Figure 4.30図 4.30

Similarly, inequalities in two variables have many solutions. Any ordered pair

(x, y)

that makes the inequality true when we substitute in the values is a solution of the inequality.

英語のヒント

同様に、2変数の不等式にも多くの解がある。値を代入したときに不等式を真にする順序対

(x, y)

は、どれもその不等式の解である。

Example 4.69例題 4.69

Determine whether each ordered pair is a solution to the inequality

y > x + 4

英語のヒント

それぞれの順序対が不等式

y > x + 4

の解かどうかを判定する：

ⓐ

(0, 0)

ⓑ

(1, 6)

ⓒ

(2, 6)

ⓓ

(−5, −15)

ⓔ

(−8, 12)

Solution解答

ⓐ

$(0, 0)$

Simplify.
簡単にする。

So, $(0, 0)$ is not a solution to $y > x + 4$ .
したがって、 $(0, 0)$ は $y > x + 4$ の解ではない。
ⓑ

$(1, 6)$

Simplify.
簡単にする。

So, $(1, 6)$ is a solution to $y > x + 4$ .
したがって、 $(1, 6)$ は $y > x + 4$ の解である。
ⓒ

$(2, 6)$

Simplify.
簡単にする。

So, $(2, 6)$ is not a solution to $y > x + 4$ .
したがって、 $(2, 6)$ は $y > x + 4$ の解ではない。
ⓓ

$(−5, −15)$

Simplify.
簡単にする。

So, $(−5, −15)$ is not a solution to $y > x + 4$ .
したがって、 $(−5, −15)$ は $y > x + 4$ の解ではない。
ⓔ

$(−8, 12)$

Simplify.
簡単にする。

So, $(−8, 12)$ is a solution to $y > x + 4$ .
したがって、 $(−8, 12)$ は $y > x + 4$ の解である。

Try It (2)確認問題（2題）

Recognize the Relation Between the Solutions of an Inequality and its Graph不等式の解とグラフの関係を理解する

Now, we will look at how the solutions of an inequality relate to its graph.

英語のヒント

次に、不等式の解がグラフとどう関係するかを見ていく。

Let’s think about the number line in Figure 4.30 again. The point

x = 3

separated that number line into two parts. On one side of 3 are all the numbers less than 3. On the other side of 3 all the numbers are greater than 3. See Figure 4.31.

英語のヒント

図4.30の数直線をもう一度考えよう。点

x = 3

は、数直線を2つの部分に分けた。3の一方の側には3より小さい数がすべてあり、もう一方の側には3より大きい数がすべてある。図4.31を参照する。

−5から5までの数直線。正の3に丸括弧があり、そこから正の無限大へ矢印が伸びている。数直線の上には、3から左を指す矢印があり、「3より小さい数」とラベルが付いている。もう1本、3から右を指す矢印があり、「3より大きい数」とラベルが付いている。 — Figure 4.31図 4.31

The solution to

x > 3

is the shaded part of the number line to the right of

x = 3

英語のヒント

x > 3

の解は、数直線の

x = 3

より右側の色が付いた部分である。

Similarly, the line

y = x + 4

separates the plane into two regions. On one side of the line are points with

y < x + 4

. On the other side of the line are the points with

y > x + 4

. We call the line

y = x + 4

a boundary line.

英語のヒント

同様に、直線

y = x + 4

は平面を2つの領域に分ける。直線の一方の側には

y < x + 4

を満たす点があり、もう一方の側には

y > x + 4

を満たす点がある。直線

y = x + 4

を境界線という。

For an inequality in one variable, the endpoint is shown with a parenthesis or a bracket depending on whether or not

a

is included in the solution:

英語のヒント

1変数の不等式では、

a

が解に含まれるかどうかによって、端点を丸括弧または角括弧で示す：

Similarly, for an inequality in two variables, the boundary line is shown with a solid or dashed line to indicate whether or not it the line is included in the solution. This is summarized in Table 4.49

英語のヒント

同様に、2変数の不等式では、境界線が解に含まれるかどうかを、実線と破線で示す。表4.49にまとめる。

Table 4.49表 4.49
$A x + B y < C$	$A x + B y \leq C$
$A x + B y > C$	$A x + B y \geq C$
Boundary line is not included in solution. 境界線は解に含まれない。	Boundary line is included in solution. 境界線は解に含まれる。
Boundary line is dashed. 境界線は破線である。	Boundary line is solid. 境界線は実線である。

Now, let’s take a look at what we found in Example 4.69. We’ll start by graphing the line

y = x + 4

, and then we’ll plot the five points we tested. See Figure 4.32.

英語のヒント

例題4.69でわかったことを見てみよう。まず直線

y = x + 4

のグラフを描き、調べた5点をとる。図4.32を参照する。

xy座標平面のグラフ。x軸とy軸は、それぞれ−10から10まである。直線y＝x＋4が、左下から右上へ伸びる矢印で描かれている。点(−8, 12)、(1, 6)、(2, 6)、(0, 0)、(−5, −15)がとられ、ラベルが付いている。 — Figure 4.32図 4.32

In Example 4.69 we found that some of the points were solutions to the inequality

y > x + 4

and some were not.

英語のヒント

例題4.69では、不等式

y > x + 4

の解になる点と、ならない点があることがわかった。

Which of the points we plotted are solutions to the inequality

y > x + 4

? The points

(1, 6)

and

(−8, 12)

are solutions to the inequality

y > x + 4

. Notice that they are both on the same side of the boundary line

y = x + 4

英語のヒント

とった点のうち、どれが不等式

y > x + 4

の解か。点

(1, 6)

と

(−8, 12)

は、不等式

y > x + 4

の解である。両方とも境界線

y = x + 4

の同じ側にあることに注目する。

The two points

(0, 0)

and

(−5, −15)

are on the other side of the boundary line

y = x + 4

, and they are not solutions to the inequality

y > x + 4

. For those two points,

y < x + 4

英語のヒント

2点

(0, 0)

と

(−5, −15)

は境界線

y = x + 4

の反対側にあり、不等式

y > x + 4

の解ではない。この2点では、

y < x + 4

である。

What about the point

(2, 6)

? Because

6 = 2 + 4

, the point is a solution to the equation

y = x + 4

. So the point

(2, 6)

is on the boundary line.

英語のヒント

点

(2, 6)

はどうか。

6 = 2 + 4

なので、方程式

y = x + 4

の解である。したがって、点

(2, 6)

は境界線上にある。

Let’s take another point on the left side of the boundary line and test whether or not it is a solution to the inequality

y > x + 4

. The point

(0, 10)

clearly looks to be to the left of the boundary line, doesn’t it? Is it a solution to the inequality?

英語のヒント

境界線の左側に別の点をとり、不等式

y > x + 4

の解かどうか調べよう。点

(0, 10)

は、明らかに境界線の左側に見えるだろう。この点は不等式の解だろうか。

\begin{matrix} y > x + 4 \\ 10 \overset{?}{>} 0 + 4 \\ 10 > 4 & So, (0, 10) is a solution to y > x + 4 . \end{matrix}

\begin{matrix} y > x + 4 \\ 10 \overset{?}{>} 0 + 4 \\ 10 > 4 & したがって, (0, 10) は次の解である： y > x + 4 . \end{matrix}

Any point you choose on the left side of the boundary line is a solution to the inequality

y > x + 4

. All points on the left are solutions.

英語のヒント

境界線の左側の点は、どれを選んでも不等式

y > x + 4

の解である。左側の点は、すべて解である。

Similarly, all points on the right side of the boundary line, the side with

(0, 0)

and

(−5, −15)

, are not solutions to

y > x + 4

. See Figure 4.33.

英語のヒント

同様に、境界線の右側、つまり

(0, 0)

と

(−5, −15)

がある側の点は、どれも

y > x + 4

の解ではない。図4.33を参照する。

xy座標平面のグラフ。x軸とy軸は、それぞれ−10から10まである。直線y＝x＋4が、左下から右上へ伸びる矢印で描かれている。点(−8, 12)、(1, 6)、(2, 6)、(0, 0)、(−5, −15)がとられ、ラベルが付いている。直線の左上には不等式y＞x＋4、右側には不等式y＜x＋4がある。 — Figure 4.33図 4.33

The graph of the inequality

y > x + 4

is shown in Figure 4.34 below. The line

y = x + 4

divides the plane into two regions. The shaded side shows the solutions to the inequality

y > x + 4

英語のヒント

不等式

y > x + 4

のグラフを、下の図4.34に示す。直線

y = x + 4

は平面を2つの領域に分ける。色が付いた側が、不等式

y > x + 4

の解を示す。

The points on the boundary line, those where

y = x + 4

, are not solutions to the inequality

y > x + 4

, so the line itself is not part of the solution. We show that by making the line dashed, not solid.

英語のヒント

境界線上の点、つまり

y = x + 4

を満たす点は、不等式

y > x + 4

の解ではないので、直線自体は解に含まれない。それを、実線ではなく破線にして示す。

xy座標平面のグラフ。x軸とy軸は、それぞれ− 10から10まである。直線y ＝ x ＋ 4が、左下から右上へ伸びる破線の矢印で描かれている。座標平面の、直線の左上の領域に色が付いている。 — Figure 4.34図 4.34
The graph of the inequality $y > x + 4$ .
英語のヒント
不等式 $y > x + 4$ のグラフ。

Example 4.70例題 4.70

The boundary line shown is

y = 2 x - 1

. Write the inequality shown by the graph.

英語のヒント

図の境界線は

y = 2 x - 1

である。グラフが表す不等式を書け。

xy座標平面のグラフ。x軸とy軸は、それぞれ− 10から10まである。直線y ＝ 2 x − 1が、左下から右上へ伸びる実線の矢印で描かれている。座標平面の、直線の左側の領域に色が付いている。

Solution解答

The line

y = 2 x - 1

is the boundary line. On one side of the line are the points with

y > 2 x - 1

and on the other side of the line are the points with

y < 2 x - 1

英語のヒント

直線

y = 2 x - 1

が境界線である。一方の側には

y > 2 x - 1

を満たす点があり、もう一方の側には

y < 2 x - 1

を満たす点がある。

Let’s test the point

(0, 0)

and see which inequality describes its side of the boundary line.

英語のヒント

点

(0, 0)

を調べ、その点がある境界線の側をどちらの不等式が表すか確かめよう。

(0, 0)

, which inequality is true:

英語のヒント

(0, 0)

では、どちらの不等式が真か：

\begin{matrix} y > 2 x - 1 & or & y < 2 x - 1 ? \\ y > 2 x - 1 & y < 2 x - 1 \\ 0 \overset{?}{>} 2 \cdot 0 - 1 & 0 \overset{?}{<} 2 \cdot 0 - 1 \\ 0 > −1 True & 0 < −1 False \end{matrix}

\begin{matrix} y > 2 x - 1 & または & y < 2 x - 1 ? \\ y > 2 x - 1 & y < 2 x - 1 \\ 0 \overset{?}{>} 2 \cdot 0 - 1 & 0 \overset{?}{<} 2 \cdot 0 - 1 \\ 0 > −1 真 & 0 < −1 偽 \end{matrix}

Since,

y > 2 x - 1

is true, the side of the line with

(0, 0)

, is the solution. The shaded region shows the solution of the inequality

y > 2 x - 1

英語のヒント

y > 2 x - 1

が真なので、

(0, 0)

を含む側が解である。色の付いた領域は、不等式

y > 2 x - 1

の解を示す。

Since the boundary line is graphed with a solid line, the inequality includes the equal sign.

英語のヒント

境界線が実線で描かれているので、不等号には等号が含まれる。

The graph shows the inequality

y \geq 2 x - 1

英語のヒント

グラフは不等式

y \geq 2 x - 1

を示す。

We could use any point as a test point, provided it is not on the line. Why did we choose

(0, 0)

? Because it’s the easiest to evaluate. You may want to pick a point on the other side of the boundary line and check that

y < 2 x - 1

英語のヒント

直線上でなければ、どの点を調べてもよい。

(0, 0)

を選んだのはなぜか。値を求めるのが最も簡単だからである。境界線の反対側の点を選び、

y < 2 x - 1

になることを確かめてみてもよい。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 4.71例題 4.71

The boundary line shown is

2 x + 3 y = 6

. Write the inequality shown by the graph.

英語のヒント

図の境界線は

2 x + 3 y = 6

である。グラフが表す不等式を書け。

xy座標平面のグラフ。x軸とy軸は、それぞれ− 10から10まである。直線2 x ＋ 3 y ＝ 6が、左上から右下へ伸びる破線の矢印で描かれている。座標平面の、直線の下側の領域に色が付いている。

Solution解答

The line

2 x + 3 y = 6

is the boundary line. On one side of the line are the points with

2 x + 3 y > 6

and on the other side of the line are the points with

2 x + 3 y < 6

英語のヒント

直線

2 x + 3 y = 6

が境界線である。一方の側には

2 x + 3 y > 6

を満たす点があり、もう一方の側には

2 x + 3 y < 6

を満たす点がある。

Let’s test the point

(0, 0)

and see which inequality describes its side of the boundary line.

英語のヒント

点

(0, 0)

を調べ、その点がある境界線の側をどちらの不等式が表すか確かめよう。

(0, 0)

, which inequality is true:

英語のヒント

(0, 0)

では、どちらの不等式が真か：

\begin{matrix} 2 x + 3 y & > & 6 & or & 2 x + 3 y & < & 6 ? \\ 2 x + 3 y & > & 6 & 2 x + 3 y & < & 6 \\ 2 (0) + 3 (0) & \overset{?}{>} & 6 & 2 (0) + 3 (0) & \overset{?}{<} & 6 \\ 0 & > & 6 False & 0 & < & 6 True \end{matrix}

\begin{matrix} 2 x + 3 y & > & 6 & または & 2 x + 3 y & < & 6 ? \\ 2 x + 3 y & > & 6 & 2 x + 3 y & < & 6 \\ 2 (0) + 3 (0) & \overset{?}{>} & 6 & 2 (0) + 3 (0) & \overset{?}{<} & 6 \\ 0 & > & 6 偽 & 0 & < & 6 真 \end{matrix}

So the side with

(0, 0)

is the side where

2 x + 3 y < 6

英語のヒント

したがって、

(0, 0)

を含む側は

2 x + 3 y < 6

となる側である。

(You may want to pick a point on the other side of the boundary line and check that

2 x + 3 y > 6

英語のヒント

（境界線の反対側の点を選び、

2 x + 3 y > 6

になることを確かめてみてもよい。）

Since the boundary line is graphed as a dashed line, the inequality does not include an equal sign.

英語のヒント

境界線が破線で描かれているので、不等号には等号が含まれない。

The graph shows the solution to the inequality

2 x + 3 y < 6

英語のヒント

グラフは不等式

2 x + 3 y < 6

の解を示す。

Try It (2)確認問題（2題）

$(0, 0)$

Simplify. 簡単にする。		So, $(0, 0)$ is not a solution to $y > x + 4$ . したがって、 $(0, 0)$ は $y > x + 4$ の解ではない。

$(1, 6)$

Simplify. 簡単にする。		So, $(1, 6)$ is a solution to $y > x + 4$ . したがって、 $(1, 6)$ は $y > x + 4$ の解である。

$(2, 6)$

Simplify. 簡単にする。		So, $(2, 6)$ is not a solution to $y > x + 4$ . したがって、 $(2, 6)$ は $y > x + 4$ の解ではない。

$(−5, −15)$

Simplify. 簡単にする。		So, $(−5, −15)$ is not a solution to $y > x + 4$ . したがって、 $(−5, −15)$ は $y > x + 4$ の解ではない。

$(−8, 12)$

Simplify. 簡単にする。		So, $(−8, 12)$ is a solution to $y > x + 4$ . したがって、 $(−8, 12)$ は $y > x + 4$ の解である。

第4章グラフ

4.7 Graphs of Linear Inequalities4.7 一次不等式のグラフ

Learning Objectives学習目標

Verify Solutions to an Inequality in Two Variables2変数の不等式の解を確かめる

Solution解答

Recognize the Relation Between the Solutions of an Inequality and its Graph不等式の解とグラフの関係を理解する

Solution解答

Solution解答

4.7 Graphs of Linear Inequalities4.7　一次不等式のグラフ