第4章グラフ

Graph Vertical and Horizontal Lines垂直な直線と水平な直線を描く

Can we graph an equation with only one variable? Just

x

and no

y

, or just

y

without an

x

? How will we make a table of values to get the points to plot?

英語のヒント

変数が1つだけの方程式でも、グラフを描けるだろうか。

x

だけで

y

がない場合や、

y

だけで

x

がない場合はどうか。点をとるための値の表を、どうやって作ればよいだろうか。

Let’s consider the equation

x = −3

. This equation has only one variable,

x

. The equation says that

x

is always equal to

−3

, so its value does not depend on

y

. No matter what

y

is, the value of

x

is always

−3

英語のヒント

方程式

x = −3

を考えよう。変数は

x

の1つだけである。この式は

x

が常に

−3

に等しいと述べているので、その値は

y

によらない。

y

がいくつでも、

x

の値は常に

−3

である。

So to make a table of values, write

−3

in for all the

x

values. Then choose any values for

y

. Since

x

does not depend on

y

, you can choose any numbers you like. But to fit the points on our coordinate graph, we’ll use 1, 2, and 3 for the y-coordinates. See Table 4.19.

英語のヒント

そこで表を作るには、

x

の値をすべて

−3

と書く。次に

y

の値を好きに選ぶ。

x

は

y

によらないので、どのような数を選んでもよい。ここではグラフの範囲に収まるように、y座標を1、2、3にする。表4.19を参照する。

Table 4.19表 4.19
$x = −3$
$x$	$y$	$(x, y)$
$−3$	1	$(−3, 1)$
$−3$	2	$(−3, 2)$
$−3$	3	$(−3, 3)$

Plot the points from Table 4.19 and connect them with a straight line. Notice in Figure 4.12 that we have graphed a vertical line.

英語のヒント

表4.19の点をとり、直線で結ぶ。図4.12では、垂直な直線が描けていることに注目する。

xy座標平面で3点を通る垂直な直線が描かれている。x軸とy軸は、それぞれ−7から7まである。3点(−3, 1)、(−3, 2)、(−3, 3)が印で示され、順序対のラベルが付いている。垂直な直線が3点すべてを通る。直線の両端には図の外側を指す矢印があり、方程式x＝−3のラベルが付いている。 — Figure 4.12図 4.12

Example 4.16例題 4.16

Graph the equation

x = 2

英語のヒント

方程式

x = 2

のグラフを描く。

Solution解答

The equation has only one variable,

x

, and

x

is always equal to 2. We create Table 4.20 where

x

is always 2 and then put in any values for

y

. The graph is a vertical line passing through the x-axis at 2. See Figure 4.13.

英語のヒント

この方程式には変数

x

しかなく、

x

は常に2である。表4.20では

x

をすべて2にし、

y

には好きな値を入れる。グラフはx軸上の2を通る垂直な直線である。図4.13を参照する。

Table 4.20表 4.20
$x = 2$
$x$	$y$	$(x, y)$
2	1	$(2, 1)$
2	2	$(2, 2)$
2	3	$(2, 3)$

xy座標平面で3点を通る垂直な直線が描かれている。x軸とy軸は、それぞれ−7から7まである。3点(2, 1)、(2, 2)、(2, 3)が印で示され、順序対のラベルが付いている。垂直な直線が3点すべてを通る。直線の両端には図の外側を指す矢印があり、方程式x＝2のラベルが付いている。 — Figure 4.13図 4.13

Try It (2)確認問題（2題）

What if the equation has

y

but no

x

? Let’s graph the equation

y = 4

. This time the y- value is a constant, so in this equation,

y

does not depend on

x

. Fill in 4 for all the

y

’s in Table 4.21 and then choose any values for

x

. We’ll use 0, 2, and 4 for the x-coordinates.

英語のヒント

方程式に

y

はあるが

x

がない場合はどうだろうか。

y = 4

のグラフを描こう。今度はyの値が定数なので、

y

は

x

によらない。表4.21の

y

にすべて4を入れ、

x

には好きな値を選ぶ。x座標には0、2、4を使う。

Table 4.21表 4.21
$y = 4$
$x$	$y$	$(x, y)$
0	4	$(0, 4)$
2	4	$(2, 4)$
4	4	$(4, 4)$

The graph is a horizontal line passing through the y-axis at 4. See Figure 4.14.

英語のヒント

グラフは、y軸上の4を通る水平な直線になる。図4.14を参照する。

xy座標平面で3点を通る水平な直線が描かれている。x軸は− 7から7まである。y軸は− 7から7まである。3個の点(0, 4)、(2, 4)、(4, 4)が印で示されている。各点に順序対のラベルが付いている。3点すべてを1本の水平な直線が通る。直線の両端に、図の外側を指す矢印がある。直線には方程式y ＝ 4のラベルが付いている。 — Figure 4.14図 4.14

Example 4.17例題 4.17

Graph the equation

y = −1 .

英語のヒント

方程式

y = −1

のグラフを描く。

Solution解答

The equation

y = −1

has only one variable,

y

. The value of

y

is constant. All the ordered pairs in Table 4.22 have the same y-coordinate. The graph is a horizontal line passing through the y-axis at

−1

, as shown in Figure 4.15.

英語のヒント

方程式

y = −1

の変数は、

y

の1つだけである。

y

の値は一定である。表4.22の順序対は、すべて同じy座標をもつ。図4.15のように、グラフはy軸上の

−1

を通る水平な直線になる。

Table 4.22表 4.22
$y = −1$
$x$	$y$	$(x, y)$
0	$−1$	$(0, −1)$
3	$−1$	$(3, −1)$
$−3$	$−1$	$(−3, −1)$

xy座標平面で3点を通る水平な直線が描かれている。x軸は− 7から7まである。y軸は− 7から7まである。3個の点(− 3, − 1)、(0, − 1)、(3, − 1)が印で示されている。各点に順序対のラベルが付いている。3点すべてを1本の水平な直線が通る。直線の両端に、図の外側を指す矢印がある。直線には方程式y ＝ − 1のラベルが付いている。 — Figure 4.15図 4.15

Try It (2)確認問題（2題）

The equations for vertical and horizontal lines look very similar to equations like

y = 4 x .

What is the difference between the equations

y = 4 x

and

y = 4

英語のヒント

垂直な直線と水平な直線の方程式は、

y = 4 x

のような式とよく似ている。方程式

y = 4 x

と

y = 4

の違いは何だろうか。

The equation

y = 4 x

has both

x

and

y

. The value of

y

depends on the value of

x

. The y-coordinate changes according to the value of

x

. The equation

y = 4

has only one variable. The value of

y

is constant. The y-coordinate is always 4. It does not depend on the value of

x

. See Table 4.23.

英語のヒント

方程式

y = 4 x

には

x

と

y

の両方がある。

y

の値は

x

の値によって決まる。y座標は

x

の値に応じて変化する。方程式

y = 4

の変数は1つだけであり、

y

の値は一定である。y座標は常に4で、

x

の値にはよらない。表4.23を参照する。

Table 4.23表 4.23
$y = 4 x$			$y = 4$
$x$	$y$	$(x, y)$	$x$	$y$	$(x, y)$
0	0	$(0, 0)$	0	4	$(0, 4)$
1	4	$(1, 4)$	1	4	$(1, 4)$
2	8	$(2, 8)$	2	4	$(2, 4)$

同じxy座標平面に2本の直線が描かれている。x軸は− 7から7まである。y軸は− 7から7まである。一方は水平な直線で、方程式y ＝ 4のラベルが付いている。もう一方は斜めの直線で、方程式y ＝ 4xのラベルが付いている。 — Figure 4.16図 4.16

Notice, in Figure 4.16, the equation

y = 4 x

gives a slanted line, while

y = 4

gives a horizontal line.

英語のヒント

図4.16では、方程式

y = 4 x

が斜めの直線を、

y = 4

が水平な直線を与えることに注目する。

Example 4.18例題 4.18

Graph

y = −3 x

and

y = −3

in the same rectangular coordinate system.

英語のヒント

同じ直交座標平面に、

y = −3 x

と

y = −3

のグラフを描く。

Solution解答

Notice that the first equation has the variable

x

, while the second does not. See Table 4.24. The two graphs are shown in Figure 4.17.

英語のヒント

最初の方程式には変数

x

があるが、2つ目にはないことに注目する。表4.24を参照する。2つのグラフを図4.17に示す。

Table 4.24表 4.24
$y = −3 x$			$y = −3$
$x$	$y$	$(x, y)$	$x$	$y$	$(x, y)$
0	0	$(0, 0)$	0	$−3$	$(0, −3)$
1	$−3$	$(1, −3)$	1	$−3$	$(1, −3)$
2	$−6$	$(2, −6)$	2	$−3$	$(2, −3)$

同じxy座標平面に2本の直線が描かれている。x軸は− 7から7まである。y軸は− 7から7まである。一方は水平な直線で、方程式y ＝ − 3のラベルが付いている。もう一方は斜めの直線で、方程式y ＝ − 3xのラベルが付いている。 — Figure 4.17図 4.17

Try It (2)確認問題（2題）