第4章グラフ

Graph a Line Using its Slope and Intercept傾きと切片を使って直線のグラフを描く

Now that we know how to find the slope and y-intercept of a line from its equation, we can graph the line by plotting the y-intercept and then using the slope to find another point.

英語のヒント

方程式から直線の傾きとy切片を求める方法がわかったので、y切片をとり、傾きを使って別の点を求めることで、直線のグラフを描ける。

Example 4.43例題 4.43

How to Graph a Line Using its Slope and Intercept傾きと切片を使って直線のグラフを描く方法

Graph the line of the equation

y = 4 x - 2

using its slope and y-intercept.

英語のヒント

傾きとy切片を使って、方程式

y = 4 x - 2

の直線を描く。

Solution解答

方程式y＝4x−2のグラフを描く手順。ステップ1は、方程式を傾き・切片形にすることである。この方程式はすでに傾き・切片形である。

ステップ2は、傾きとy切片を特定することである。方程式y＝mx＋bを使う。方程式y＝mx＋bの変数mは赤色、変数bは青色である。その下に方程式y＝4x＋(−2)があり、数4は赤色、−2は青色である。この方程式からm＝4、b＝−2とわかるので、傾きは4、y切片は点(0, −2)である。

ステップ3はy切片をとることである。xy座標平面が示され、x軸とy軸はそれぞれ−8から8まである。点(0, −2)がとられている。

ステップ4は、傾きの公式m＝縦の変化量÷横の変化量を使って、縦の変化量と横の変化量を特定することである。m＝4なので、縦の変化量÷横の変化量＝4/1である。これから、縦の変化量は4、横の変化量は1とわかる。

ステップ5は、y切片から始め、縦の変化量と横の変化量を数えて2つ目の点に印を付けることである。点(0, −2)から始めて、縦と横の変化量を数える。縦は上に4、横は右に1である。xy座標平面では、赤い垂直な線が点(0, −2)から始まって4目盛り上がる。その終点から、赤い水平な線が1目盛り進み、点(1, 2)で終わる。点(1, 2)がとられている。

ステップ6は点を直線で結ぶことである。xy座標平面には点(0, −2)と(1, 2)がとられ、2点を通る直線がある。この直線はy＝4x−2のグラフである。

Try It (2)確認問題（2題）

Graph a line using its slope and y-intercept.傾きとy切片を使って直線のグラフを描く。

Find the slope-intercept form of the equation of the line.
英語のヒント
直線の方程式を傾き・切片形にする。
Identify the slope and y-intercept.
英語のヒント
傾きとy切片を求める。
Plot the y-intercept.
英語のヒント
y切片をとる。
Use the slope formula $m = \frac{rise}{run}$ to identify the rise and the run.
英語のヒント
傾きの公式 $m = \frac{縦の変化量}{横の変化量}$ を使って、縦の変化量と横の変化量を特定する。
Starting at the y-intercept, count out the rise and run to mark the second point.
英語のヒント
y切片から始め、縦の変化量と横の変化量を数えて、2つ目の点に印を付ける。
Connect the points with a line.
英語のヒント
点を直線で結ぶ。

Example 4.44例題 4.44

Graph the line of the equation

y = − x + 4

using its slope and y-intercept.

英語のヒント

傾きとy切片を使って、方程式

y = − x + 4

の直線を描く。

Solution解答

	$y = m x + b$
The equation is in slope–intercept form. 方程式は傾き・切片形である。	$y = − x + 4$
Identify the slope and y-intercept. 傾きとy切片を求める。	$m = −1$
	y-intercept is (0, 4) y切片は(0, 4)である。
Plot the y-intercept. y切片をとる。	See graph below. 下のグラフを参照する。
Identify the rise and the run. 縦と横の変化量を求める。	$m = \frac{−1}{1}$
Count out the rise and run to mark the second point. 縦の変化量と横の変化量を数えて、2つ目の点に印を付ける。	rise −1, run 1 縦の変化量−1、横の変化量1
Draw the line. 直線を描く。
To check your work, you can find another point on the line and make sure it is a solution of the equation. In the graph we see the line goes through (4, 0). 直線上の別の点を求め、それが方程式の解であることを確かめれば、作図を確認できる。グラフを見ると、直線は(4, 0)を通っている。
Check. $\begin{matrix} y & = & − x + 4 \\ 0 & \overset{?}{=} & - 4 + 4 \\ 0 & = & 0 ✓ \end{matrix}$ 確認する。 $\begin{matrix} y & = & − x + 4 \\ 0 & \overset{?}{=} & - 4 + 4 \\ 0 & = & 0 ✓ \end{matrix}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 4.45例題 4.45

Graph the line of the equation

y = - \frac{2}{3} x - 3

using its slope and y-intercept.

英語のヒント

傾きとy切片を使って、方程式

y = - \frac{2}{3} x - 3

の直線を描く。

Solution解答

	$y = m x + b$
The equation is in slope–intercept form. 方程式は傾き・切片形である。	$y = - \frac{2}{3} x - 3$
Identify the slope and y-intercept. 傾きとy切片を求める。	$m = - \frac{2}{3}$ ; y-intercept is (0, −3) $m = - \frac{2}{3}$ ；y切片は(0, −3)
Plot the y-intercept. y切片をとる。	See graph below. 下のグラフを参照する。
Identify the rise and the run. 縦と横の変化量を求める。
Count out the rise and run to mark the second point. 縦の変化量と横の変化量を数えて、2つ目の点に印を付ける。
Draw the line. 直線を描く。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 4.46例題 4.46

Graph the line of the equation

4 x - 3 y = 12

using its slope and y-intercept.

英語のヒント

傾きとy切片を使って、方程式

4 x - 3 y = 12

の直線を描く。

Solution解答

	$4 x - 3 y = 12$
Find the slope–intercept form of the equation. 方程式を傾き・切片形にする。	$−3 y = −4 x + 12$
	$- \frac{3 y}{3} = \frac{−4 x + 12}{−3}$
The equation is now in slope–intercept form. これで方程式は傾き・切片形になった。	$y = \frac{4}{3} x - 4$
Identify the slope and y-intercept. 傾きとy切片を求める。	$m = \frac{4}{3}$
	y-intercept is (0, −4) y切片は(0, −4)
Plot the y-intercept. y切片をとる。	See graph below. 下のグラフを参照する。
Identify the rise and the run; count out the rise and run to mark the second point. 縦の変化量と横の変化量を特定し、それらを数えて2つ目の点に印を付ける。
Draw the line. 直線を描く。

Try It (2)確認問題（2題）

We have used a grid with

x

and

y

both going from about

−10

to 10 for all the equations we’ve graphed so far. Not all linear equations can be graphed on this small grid. Often, especially in applications with real-world data, we’ll need to extend the axes to bigger positive or smaller negative numbers.

英語のヒント

これまで描いた方程式のグラフでは、

x

と

y

がともにおよそ

−10

から10までの格子を使ってきた。しかし、すべての一次方程式をこの小さな格子に描けるわけではない。特に現実のデータを使う応用では、軸をさらに大きな正の数や小さな負の数まで延ばす必要があることが多い。

Example 4.47例題 4.47

Graph the line of the equation

y = 0.2 x + 45

using its slope and y-intercept.

英語のヒント

傾きとy切片を使って、方程式

y = 0.2 x + 45

の直線を描く。

Solution解答

We’ll use a grid with the axes going from about

−80

to 80.

英語のヒント

軸がおよそ

−80

から80までの格子を使う。

	$y = m x + b$
The equation is in slope–intercept form. 方程式は傾き・切片形である。	$y = 0.2 x + 45$
Identify the slope and y-intercept. 傾きとy切片を求める。	$m = 0.2$
	The y-intercept is (0, 45) y切片は(0, 45)
Plot the y-intercept. y切片をとる。	See graph below. 下のグラフを参照する。
Count out the rise and run to mark the second point. The slope is $m = 0.2$ ; in fraction form this means $m = \frac{2}{10}$ . Given the scale of our graph, it would be easier to use the equivalent fraction $m = \frac{10}{50}$ . 縦の変化量と横の変化量を数えて、2つ目の点に印を付ける。傾きは $m = 0.2$ であり、分数で書けば $m = \frac{2}{10}$ である。グラフの目盛りを考えると、これに等しい分数 $m = \frac{10}{50}$ を使うほうが簡単である。
Draw the line. 直線を描く。

Try It (2)確認問題（2題）

Now that we have graphed lines by using the slope and y-intercept, let’s summarize all the methods we have used to graph lines. See Figure 4.25.

英語のヒント

傾きとy切片を使って直線のグラフを描いたので、これまで使ってきた作図方法をすべてまとめよう。図4.25を参照する。

2行4列の表。第1行は4列にまたがる見出し「直線のグラフを描く方法」である。第2行は4列からなる。第1列の見出しは「点をとる」で、4行2列の小さな表がある。その第1行の列見出しは「x」「y」で、残りは空欄である。下には「3点を求める。点をとり、一直線上に並ぶことを確かめて、直線を描く」とある。第2列の見出しは「傾き・切片」で、方程式y＝mx＋bがある。その下には「傾きとy切片を求める。y切片から始め、傾きに従って進んで2つ目の点を求める」とある。第3列の見出しは「切片」で、4行2列の小さな表がある。その第1行の列見出しは「x」「y」。第2行はx列が0、y列が空欄である。第2行はx列が空欄、y列が0である。第3行は空欄である。表の下には「切片と3つ目の点を求める。点をとり、一直線上に並ぶことを確かめて、直線を描く」とある。第4列の見出しは「垂直な直線と水平な直線を見分ける」で、その下には「方程式の変数は1つだけ」とある。方程式x＝aは垂直な直線、y＝bは水平な直線である。 — Figure 4.25図 4.25

Choose the Most Convenient Method to Graph a Line直線を描くのに最も便利な方法を選ぶ

Now that we have seen several methods we can use to graph lines, how do we know which method to use for a given equation?

英語のヒント

直線のグラフを描く方法をいくつか見てきたが、与えられた方程式にはどの方法を使えばよいとわかるのだろうか。

While we could plot points, use the slope–intercept form, or find the intercepts for any equation, if we recognize the most convenient way to graph a certain type of equation, our work will be easier. Generally, plotting points is not the most efficient way to graph a line. We saw better methods in sections 4.3, 4.4, and earlier in this section. Let’s look for some patterns to help determine the most convenient method to graph a line.

英語のヒント

どの方程式でも、点をとる方法、傾き・切片形を使う方法、切片を求める方法を使えるが、方程式の種類に応じて最も都合のよい方法がわかれば、作業は簡単になる。一般に、点をとる方法は直線を描く最も効率のよい方法ではない。4.3節、4.4節、この節の前半では、よりよい方法を見てきた。最も都合のよい作図方法を判断する助けになるパターンを探そう。

Here are six equations we graphed in this chapter, and the method we used to graph each of them.

英語のヒント

この章でグラフを描いた6つの方程式と、それぞれに使った方法を示す。

\begin{matrix} Equation & Method \\ #1 & x = 2 & Vertical line \\ #2 & y = 4 & Horizontal line \\ #3 & − x + 2 y = 6 & Intercepts \\ #4 & 4 x - 3 y = 12 & Intercepts \\ #5 & y = 4 x - 2 & Slope–intercept \\ #6 & y = − x + 4 & Slope–intercept \end{matrix}

\begin{matrix} 方程式 & 方法 \\ #1 & x = 2 & 垂直な直線 \\ #2 & y = 4 & 水平な直線 \\ #3 & − x + 2 y = 6 & 切片 \\ #4 & 4 x - 3 y = 12 & 切片 \\ #5 & y = 4 x - 2 & 傾き・切片 \\ #6 & y = − x + 4 & 傾き・切片 \end{matrix}

Equations #1 and #2 each have just one variable. Remember, in equations of this form the value of that one variable is constant; it does not depend on the value of the other variable. Equations of this form have graphs that are vertical or horizontal lines.

英語のヒント

方程式1と2は、それぞれ変数が1つだけである。この形の方程式では、その変数の値は一定であり、もう一方の変数の値にはよらないことを思い出そう。この形の方程式のグラフは、垂直または水平な直線である。

In equations #3 and #4, both

x

and

y

are on the same side of the equation. These two equations are of the form

A x + B y = C

. We substituted

y = 0

to find the x-intercept and

x = 0

to find the y-intercept, and then found a third point by choosing another value for

x

y

英語のヒント

方程式3と4では、

x

と

y

がどちらも同じ辺にある。この2つは

A x + B y = C

の形の方程式である。

y = 0

を代入してx切片を、

x = 0

を代入してy切片を求め、次に

x

か

y

の別の値を選んで3つ目の点を求めた。

Equations #5 and #6 are written in slope–intercept form. After identifying the slope and y-intercept from the equation we used them to graph the line.

英語のヒント

方程式5と6は傾き・切片形で書かれている。方程式から傾きとy切片を特定し、それらを使って直線のグラフを描いた。

This leads to the following strategy.

英語のヒント

これから、次の方針が得られる。

Strategy for Choosing the Most Convenient Method to Graph a Line直線のグラフを描くのに最も都合のよい方法を選ぶ方針

Consider the form of the equation.

英語のヒント

方程式の形を考える。

If it only has one variable, it is a vertical or horizontal line.
英語のヒント
変数が1つだけなら、垂直または水平な直線である。
- $x = a$ is a vertical line passing through the x-axis at $a$ .
  英語のヒント
  $x = a$ は、x軸上の $a$ を通る垂直な直線である。
- $y = b$ is a horizontal line passing through the y-axis at $b$ .
  英語のヒント
  $y = b$ は、y軸上の $b$ を通る水平な直線である。
If $y$ is isolated on one side of the equation, in the form $y = m x + b$ , graph by using the slope and y-intercept.
英語のヒント
$y$ が方程式の一方の辺に単独で置かれ、 $y = m x + b$ の形なら、傾きとy切片を使ってグラフを描く。
- Identify the slope and y-intercept and then graph.
  英語のヒント
  傾きとy切片を特定し、グラフを描く。
If the equation is of the form $A x + B y = C$ , find the intercepts.
英語のヒント
方程式が $A x + B y = C$ の形なら、切片を求める。
- Find the x- and y-intercepts, a third point, and then graph.
  英語のヒント
  x切片とy切片、3つ目の点を求め、グラフを描く。

Example 4.48例題 4.48

Determine the most convenient method to graph each line.

英語のヒント

各直線のグラフを描くのに、最も都合のよい方法を決めよ。

ⓐ

y = −6

ⓑ

5 x - 3 y = 15

ⓒ

x = 7

ⓓ

y = \frac{2}{5} x - 1

Solution解答

ⓐ $y = −6$
This equation has only one variable, $y$ . Its graph is a horizontal line crossing the y-axis at $−6$ .
英語のヒント
ⓐ $y = −6$ 　この方程式の変数は $y$ の1つだけである。グラフは、y軸上の $−6$ を通る水平な直線である。
ⓑ $5 x - 3 y = 15$
This equation is of the form $A x + B y = C$ . The easiest way to graph it will be to find the intercepts and one more point.
英語のヒント
ⓑ $5 x - 3 y = 15$ 　この方程式は $A x + B y = C$ の形である。切片ともう1つの点を求めるのが、最も簡単な作図方法である。
ⓒ $x = 7$
There is only one variable, $x$ . The graph is a vertical line crossing the x-axis at 7.
英語のヒント
ⓒ $x = 7$ 　変数は $x$ の1つだけである。グラフは、x軸上の7を通る垂直な直線である。
ⓓ $y = \frac{2}{5} x - 1$
Since this equation is in $y = m x + b$ form, it will be easiest to graph this line by using the slope and y-intercept.
英語のヒント
ⓓ $y = \frac{2}{5} x - 1$ 　この方程式は $y = m x + b$ の形なので、傾きとy切片を使うのが最も簡単な作図方法である。

Try It (2)確認問題（2題）