第4章グラフ

Find the Slope of Horizontal and Vertical Lines水平な直線と垂直な直線の傾きを求める

Do you remember what was special about horizontal and vertical lines? Their equations had just one variable.

英語のヒント

水平な直線と垂直な直線の特別な点を覚えているだろうか。方程式に変数が1つしかなかった。

\begin{matrix} Horizontal line y = b & Vertical line x = a \\ y -coordinates are the same. & x -coordinates are the same. \end{matrix}

\begin{matrix} 水平な直線 y = b & 垂直な直線 x = a \\ y 座標は同じである。 & x 座標は同じである。 \end{matrix}

So how do we find the slope of the horizontal line

y = 4

? One approach would be to graph the horizontal line, find two points on it, and count the rise and the run. Let’s see what happens when we do this.

英語のヒント

では、水平な直線

y = 4

の傾きは、どうやって求めればよいだろうか。1つの方法は、水平な直線を描き、その上の2点を見つけて、縦の変化量と横の変化量を数えることである。実際に行うとどうなるか見てみよう。

xy座標平面のグラフ。x軸は− 1から5まで、y軸は− 1から7まである。直線は点(0, 4)、(3, 4)を通る。

Table 4.35表 4.35
What is the rise? 縦の変化量はいくつか。	The rise is $0$ . 縦の変化量は $0$ である。
Count the run. 横の変化量を数える。	The run is $3$ . 横の変化量は $3$ である。
What is the slope? 傾きはいくつか。	$\begin{matrix} m = \frac{rise}{run} \\ m = \frac{0}{3} \\ m = 0 \end{matrix}$ $\begin{matrix} m = \frac{縦の変化量}{横の変化量} \\ m = \frac{0}{3} \\ m = 0 \end{matrix}$
	The slope of the horizontal line $y = 4$ is $0$ . 水平な直線 $y = 4$ の傾きは $0$ である。

All horizontal lines have slope 0. When the y-coordinates are the same, the rise is 0.

英語のヒント

水平な直線の傾きは、すべて0である。y座標が同じなら、縦の変化量は0になる。

The floor of your room is horizontal. Its slope is 0. If you carefully placed a ball on the floor, it would not roll away.

英語のヒント

部屋の床は水平で、傾きは0である。床にボールをそっと置いても、転がっていくことはない。

Now, we’ll consider a vertical line, the line.

英語のヒント

次に、垂直な直線を考えよう。

xy座標平面のグラフ。x軸は− 1から5まで、y軸は− 2から2まである。直線は点(3, 0)、(3, 2)を通る。

Table 4.36表 4.36
What is the rise? 縦の変化量はいくつか。	The rise is $2$ . 縦の変化量は $2$ である。
Count the run. 横の変化量を数える。	The run is $0$ . 横の変化量は $0$ である。
What is the slope? 傾きはいくつか。	$\begin{matrix} m = \frac{rise}{run} \\ m = \frac{2}{0} \end{matrix}$ $\begin{matrix} m = \frac{縦の変化量}{横の変化量} \\ m = \frac{2}{0} \end{matrix}$

But we can’t divide by 0. Division by 0 is not defined. So we say that the slope of the vertical line

x = 3

is undefined.

英語のヒント

しかし、0で割ることはできない。0による割り算は定義されていない。したがって、垂直な直線

x = 3

の傾きは定義されないという。

The slope of any vertical line is undefined. When the x-coordinates of a line are all the same, the run is 0.

英語のヒント

垂直な直線の傾きは、どれも定義されない。直線上のx座標がすべて同じなら、横の変化量は0になる。

Example 4.32例題 4.32

Find the slope of each line:

英語のヒント

各直線の傾きを求める。

ⓐ

x = 8

ⓑ

y = −5

Solution解答

ⓐ $x = 8$
This is a vertical line.
Its slope is undefined.

英語のヒント
ⓐ $x = 8$ 　これは垂直な直線である。傾きは定義されない。
ⓑ $y = −5$
This is a horizontal line.
It has slope 0.
英語のヒント
ⓑ $y = −5$ 　これは水平な直線である。傾きは0である。

Try It (2)確認問題（2題）

Remember, we ‘read’ a line from left to right, just like we read written words in English.

英語のヒント

英語の文章を読むのと同じように、直線も左から右へ「読む」ことを思い出そう。

Use the Slope Formula to find the Slope of a Line Between Two Points傾きの公式を使って2点を通る直線の傾きを求める

Additional Resources追加教材

Sometimes we’ll need to find the slope of a line between two points when we don’t have a graph to count out the rise and the run. We could plot the points on grid paper, then count out the rise and the run, but as we’ll see, there is a way to find the slope without graphing. Before we get to it, we need to introduce some algebraic notation.

英語のヒント

縦の変化量と横の変化量を数えられるグラフがなくても、2点を通る直線の傾きを求める必要があることがある。方眼紙に点をとって数えることもできるが、これから見るように、グラフを描かずに傾きを求める方法がある。その前に、代数の表記をいくつか導入する必要がある。

We have seen that an ordered pair

(x, y)

gives the coordinates of a point. But when we work with slopes, we use two points. How can the same symbol

(x, y)

be used to represent two different points? Mathematicians use subscripts to distinguish the points.

英語のヒント

順序対

(x, y)

が点の座標を表すことを学んだ。しかし、傾きを扱うときには2点を使う。同じ記号

(x, y)

で、異なる2点をどう表せばよいだろうか。数学では、点を区別するために添字を使う。

\begin{matrix} (x_{1}, y_{1}) & read ‘ x sub 1, y sub 1’ \\ (x_{2}, y_{2}) & read ‘ x sub 2, y sub 2’ \end{matrix}

\begin{matrix} (x_{1}, y_{1}) & 読み方：「 x の添字1、 y の添字1」 \\ (x_{2}, y_{2}) & 読み方：「 x の添字2、 y の添字2」 \end{matrix}

The use of subscripts in math is very much like the use of last name initials in elementary school. Maybe you remember Laura C. and Laura M. in your third grade class?

英語のヒント

数学での添字の使い方は、小学校で名字の頭文字を使うことによく似ている。小学3年生のクラスにいたローラ・Cとローラ・Mを覚えているかもしれない。

We will use

(x_{1}, y_{1})

to identify the first point and

(x_{2}, y_{2})

to identify the second point.

英語のヒント

最初の点を

(x_{1}, y_{1})

、2つ目の点を

(x_{2}, y_{2})

で表す。

If we had more than two points, we could use

(x_{3}, y_{3})

(x_{4}, y_{4})

, and so on.

英語のヒント

点が3つ以上あれば、

(x_{3}, y_{3})

、

(x_{4}, y_{4})

などを使える。

Let’s see how the rise and run relate to the coordinates of the two points by taking another look at the slope of the line between the points

(2, 3)

and

(7, 6)

英語のヒント

点

(2, 3)

と

(7, 6)

を通る直線の傾きをもう一度見て、縦の変化量と横の変化量が2点の座標とどう関係するか確かめよう。

xy座標平面のグラフ。x軸とy軸は、それぞれ0から7まである。直線は、印とラベルの付いた点(2, 3)と(7, 6)を通る。順序対(2, 3)には(x₁, y₁)、(7, 6)には(x₂, y₂)とラベルが付いている。さらに点(2, 6)がとられている。3点は直角三角形を作る。(2, 3)から(7, 6)への線が斜辺で、(2, 3)から(2, 6)への線と、(2, 6)から(7, 6)への線が直角を挟む2辺である。1本目の辺、(2, 3)から(2, 6)には、y₂−y₁、6−3、3とラベルが付いている。2本目の辺、(2, 3)から(7, 6)には、x₂−x₁、y−2、5とラベルが付いている。

Since we have two points, we will use subscript notation,

(\overset{x_{1},}{2,} \overset{y_{1}}{3})

(\overset{x_{2}, y_{2}}{7, 6})

英語のヒント

点が2つあるので、添字を使って

(\overset{x_{1},}{2,} \overset{y_{1}}{3})

(\overset{x_{2}, y_{2}}{7, 6})

と表す。

On the graph, we counted the rise of 3 and the run of 5.

英語のヒント

グラフ上では、縦の変化量は3、横の変化量は5と数えた。

Notice that the rise of 3 can be found by subtracting the y-coordinates 6 and 3.

英語のヒント

縦の変化量3は、y座標6と3の差として求められることに注目する。

3 = 6 - 3

And the run of 5 can be found by subtracting the x-coordinates 7 and 2.

英語のヒント

横の変化量5は、x座標7と2の差として求められる。

5 = 7 - 2

We know

m = \frac{rise}{run}

. So

m = \frac{3}{5}

英語のヒント

m = \frac{縦の変化量}{横の変化量}

なので、

m = \frac{3}{5}

である。

We rewrite the rise and run by putting in the coordinates

m = \frac{6 - 3}{7 - 2}

英語のヒント

縦の変化量と横の変化量に座標を入れて、

m = \frac{6 - 3}{7 - 2}

と書き換える。

But 6 is

y_{2}

, the y-coordinate of the second point and 3 is

y_{1}

, the y-coordinate of the first point.

英語のヒント

ここで、6は2つ目の点のy座標

y_{2}

であり、3は最初の点のy座標

y_{1}

である。

So we can rewrite the slope using subscript notation.

m = \frac{y_{2} - y_{1}}{7 - 2}

英語のヒント

したがって、添字を使って傾きを書き換えられる。

m = \frac{y_{2} - y_{1}}{7 - 2}

Also, 7 is

x_{2}

, the x-coordinate of the second point and 2 is

x_{1}

, the x-coordinate of the first point.

英語のヒント

また、7は2つ目の点のx座標

x_{2}

であり、2は最初の点のx座標

x_{1}

である。

So, again, we rewrite the slope using subscript notation.

m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}

英語のヒント

したがって、ここでも添字を使って傾きを書き換える。

m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}

We’ve shown that

m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}

is really another version of

m = \frac{rise}{run}

. We can use this formula to find the slope of a line when we have two points on the line.

英語のヒント

m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}

は、実は

m = \frac{縦の変化量}{横の変化量}

の別の表し方であることがわかった。直線上の2点がわかっているときには、この公式を使って直線の傾きを求められる。

Example 4.33例題 4.33

Use the slope formula to find the slope of the line between the points

(1, 2)

and

(4, 5)

英語のヒント

傾きの公式を使って、点

(1, 2)

と

(4, 5)

を通る直線の傾きを求めよ。

Solution解答

Table 4.37表 4.37
We'll call $(1, 2)$ point #1 and $(4, 5)$ point #2. $(1, 2)$ を点1、 $(4, 5)$ を点2と呼ぶことにする。	$(\overset{x_{1}, y_{1}}{1, 2}) {(\overset{x_{2}, y_{2}}{4, 5})}_{}$
Use the slope formula. 傾きの公式を使う。	$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .
Substitute the values. 値を代入する。
$y$ of the second point minus $y$ of the first point 2つ目の点の $y$ から最初の点の $y$ を引く	$m = \frac{5 - 2}{x_{2} - x_{1}}$ .
$x$ of the second point minus $x$ of the first point 2つ目の点の $x$ から最初の点の $x$ を引く	$m = \frac{5 - 2}{4 - 1}$ .
Simplify the numerator and the denominator. 分子と分母を簡単にする。	$m = \frac{3}{3}$ .
Simplify. 簡単にする。	$m = 1$ .

Let’s confirm this by counting out the slope on a graph using

m = \frac{rise}{run}

英語のヒント

グラフ上で縦と横の変化量を数え、

m = \frac{縦の変化量}{横の変化量}

を使って確かめよう。

xy座標平面のグラフ。x軸とy軸は、それぞれ0から7まである。点(1, 2)と(4, 5)がとられ、直線がこれらを通る。さらに点(1, 5)がとられている。3点は直角三角形を作る。(1, 2)から(4, 5)への線が斜辺で、(1, 2)から(1, 5)への線と、(1, 5)から(4, 5)への線が直角を挟む2辺である。(1, 2)から(1, 5)への辺には「縦の変化量」、(1, 5)から(4, 5)への辺には「横の変化量」とラベルが付いている。

It doesn’t matter which point you call point #1 and which one you call point #2. The slope will be the same. Try the calculation yourself.

英語のヒント

どちらを点1、どちらを点2と呼んでも関係なく、傾きは同じになる。自分で計算してみよう。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 4.34例題 4.34

Use the slope formula to find the slope of the line through the points

(−2, −3)

and

(−7, 4)

英語のヒント

傾きの公式を使って、点

(−2, −3)

と

(−7, 4)

を通る直線の傾きを求めよ。

Solution解答

Table 4.38表 4.38
We'll call $(−2, −3)$ point #1 and $(−7, 4)$ point #2. $(−2, −3)$ を点1、 $(−7, 4)$ を点2と呼ぶことにする。	$(\overset{x_{1}, y_{1}}{−2, −3}) {(\overset{x_{2}, y_{2}}{−7, 4})}_{}$
Use the slope formula. 傾きの公式を使う。	$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .
Substitute the values. 値を代入する。
$y$ of the second point minus $y$ of the first point 2つ目の点の $y$ から最初の点の $y$ を引く	$m = \frac{4 - (−3)}{x_{2} - x_{1}}$ .
$x$ of the second point minus $x$ of the first point 2つ目の点の $x$ から最初の点の $x$ を引く	$m = \frac{4 - (−3)}{−7 - (−2)}$ .
Simplify. 簡単にする。	$\begin{matrix} m = \frac{7}{−5} \\ m = - \frac{7}{5} \end{matrix}$

Let’s verify this slope on the graph shown.

英語のヒント

図のグラフで、この傾きを確かめよう。

xy座標平面のグラフ。x軸は−8から2まで、y軸は−6から5まである。直線は、印とラベルの付いた点(−7, 4)と(−2, −3)を通る。さらに点(−7, −3)がとられている。3点は直角三角形を作る。(−7, 4)から(−2, −3)への線が斜辺で、(−7, 4)から(−7, −3)への線と、(−7, −3)から(−2, −3)への線が直角を挟む2辺である。(−7, 4)から(−7, −3)への辺には「縦の変化量」、(−7, −3)から(−2, −3)への辺には「横の変化量」とラベルが付いている。

\begin{matrix} m & = & \frac{rise}{run} \\ m & = & \frac{−7}{5} \\ m & = & - \frac{7}{5} \end{matrix}

\begin{matrix} m & = & \frac{縦の変化量}{横の変化量} \\ m & = & \frac{−7}{5} \\ m & = & - \frac{7}{5} \end{matrix}

Try It (2)確認問題（2題）