第4章グラフ

Use Slopes to Identify Perpendicular Lines傾きを使って垂直な直線を見分ける

Let’s look at the lines whose equations are

y = \frac{1}{4} x - 1

and

y = −4 x + 2

, shown in Figure 4.29.

英語のヒント

図4.29に示す、方程式が

y = \frac{1}{4} x - 1

と

y = −4 x + 2

である直線を見てみよう。

xy座標平面上の2本の直線のグラフ。x軸とy軸は、それぞれ−8から8まである。一方の直線には方程式y＝−4x＋2のラベルが付き、点(0, 2)と(1, −2)を通る。もう一方には方程式y＝(1/4)x−1のラベルが付き、点(0, −1)と(4, 0)を通る。 — Figure 4.29図 4.29

These lines lie in the same plane and intersect in right angles. We call these lines perpendicular.

英語のヒント

この2本の直線は同じ平面上にあり、直角に交わる。このような直線は垂直であるという。

What do you notice about the slopes of these two lines? As we read from left to right, the line

y = \frac{1}{4} x - 1

rises, so its slope is positive. The line

y = −4 x + 2

drops from left to right, so it has a negative slope. Does it make sense to you that the slopes of two perpendicular lines will have opposite signs?

英語のヒント

この2本の直線の傾きについて、何に気づくだろうか。左から右へ読むと、直線

y = \frac{1}{4} x - 1

は上がるので傾きは正である。直線

y = −4 x + 2

は下がるので、傾きは負である。垂直な2本の直線の傾きの符号が反対になることに、納得できるだろうか。

If we look at the slope of the first line,

m_{1} = \frac{1}{4}

, and the slope of the second line,

m_{2} = −4

, we can see that they are negative reciprocals of each other. If we multiply them, their product is

−1 .

英語のヒント

最初の直線の傾き

m_{1} = \frac{1}{4}

と、2本目の直線の傾き

m_{2} = −4

を見ると、互いの逆数の符号を変えたものだとわかる。掛けると、積は

−1

となる。

\begin{matrix} m_{1} \cdot m_{2} \\ \frac{1}{4} (−4) \\ - 1 \end{matrix}

This is always true for perpendicular lines and leads us to this definition.

英語のヒント

これは垂直な直線では常に成り立ち、次の定義につながる。

We were able to look at the slope–intercept form of linear equations and determine whether or not the lines were parallel. We can do the same thing for perpendicular lines.

英語のヒント

一次方程式の傾き・切片形を見て、直線が平行かどうか判断できた。垂直な直線についても同じことができる。

We find the slope–intercept form of the equation, and then see if the slopes are negative reciprocals. If the product of the slopes is

−1

, the lines are perpendicular. Perpendicular lines may have the same y-intercepts.

英語のヒント

方程式を傾き・切片形にして、傾きが互いの逆数の符号を変えたものか確かめる。傾きの積が

−1

なら、直線は垂直である。垂直な直線は、y切片が同じ場合もある。

Example 4.55例題 4.55

Use slopes to determine if the lines,

y = −5 x - 4

and

x - 5 y = 5

are perpendicular.

英語のヒント

傾きを使って、直線

y = −5 x - 4

と

x - 5 y = 5

が垂直かどうか判定せよ。

Solution解答

The first equation is already in slope-intercept form. 最初の方程式は、すでに傾き・切片形である。	$\begin{matrix} y & = & −5 x - 4 \end{matrix}$
Solve the second equation for $y$ . 2つ目の方程式を $y$ について解く。	$\begin{matrix} x - 5 y & = & 5 \\ - 5 y & = & − x + 5 \\ \frac{−5 y}{−5} & = & \frac{− x + 5}{−5} \\ y & = & \frac{1}{5} x - 1 \end{matrix}$
Identify the slope of each line. 各直線の傾きを特定する。	$\begin{matrix} y & = & −5 x - 4 \\ y & = & m x + b \\ m_{1} & = & −5 \end{matrix}$	$\begin{matrix} y & = & \frac{1}{5} x - 1 \\ y & = & m x + b \\ m_{2} & = & \frac{1}{5} \end{matrix}$

The slopes are negative reciprocals of each other, so the lines are perpendicular. We check by multiplying the slopes,

英語のヒント

傾きは互いの逆数の符号を変えたものなので、直線は垂直である。傾きを掛けて確認する。

\begin{matrix} m_{1} \cdot m_{2} \\ - 5 (\frac{1}{5}) \\ - 1 ✓ \end{matrix}

Try It (2)確認問題（2題）

Example 4.56例題 4.56

Use slopes to determine if the lines,

7 x + 2 y = 3

and

2 x + 7 y = 5

are perpendicular.

英語のヒント

傾きを使って、直線

7 x + 2 y = 3

と

2 x + 7 y = 5

が垂直かどうか判定せよ。

Solution解答

Table 4.46表 4.46
Solve the equations for $y$ . 方程式を $y$ について解く。	$\begin{matrix} 7 x + 2 y & = & 3 \\ 2 y & = & −7 x + 3 \\ \frac{2 y}{2} & = & \frac{−7 x + 3}{2} \\ y & = & - \frac{7}{2} x + \frac{3}{2} \end{matrix}$	$\begin{matrix} 2 x + 7 y & = & 5 \\ 7 y & = & −2 x + 5 \\ \frac{7 y}{7} & = & \frac{−2 x + 5}{7} \\ y & = & - \frac{2}{7} x + \frac{5}{7} \end{matrix}$
Identify the slope of each line. 各直線の傾きを特定する。	$\begin{matrix} y & = & m x + b \\ m_{1} & = & - \frac{7}{2} \end{matrix}$	$\begin{matrix} y & = & m x + b \\ m_{2} & = & - \frac{2}{7} \end{matrix}$

The slopes are reciprocals of each other, but they have the same sign. Since they are not negative reciprocals, the lines are not perpendicular.

英語のヒント

傾きは互いに逆数だが、符号は同じである。互いの逆数の符号を変えたものではないので、直線は垂直ではない。

Try It (2)確認問題（2題）

Additional Resources追加教材

Key Concepts重要な概念

The slope–intercept form of an equation of a line with slope $m$ and y-intercept, $(0, b)$ is, $y = m x + b$ .
英語のヒント
傾きが $m$ 、y切片が $(0, b)$ である直線の方程式の傾き・切片形は、 $y = m x + b$ である。
Graph a Line Using its Slope and y-Intercept
英語のヒント
傾きとy切片を使って直線のグラフを描く
1. Find the slope-intercept form of the equation of the line.
  英語のヒント
  直線の方程式を傾き・切片形にする。
2. Identify the slope and y-intercept.
  英語のヒント
  傾きとy切片を求める。
3. Plot the y-intercept.
  英語のヒント
  y切片をとる。
4. Use the slope formula $m = \frac{rise}{run}$ to identify the rise and the run.
  英語のヒント
  傾きの公式 $m = \frac{縦の変化量}{横の変化量}$ を使って、縦の変化量と横の変化量を特定する。
5. Starting at the y-intercept, count out the rise and run to mark the second point.
  英語のヒント
  y切片から始め、縦の変化量と横の変化量を数えて、2つ目の点に印を付ける。
6. Connect the points with a line.
  英語のヒント
  点を直線で結ぶ。
Strategy for Choosing the Most Convenient Method to Graph a Line: Consider the form of the equation.
英語のヒント
直線のグラフを描くのに最も都合のよい方法を選ぶ方針：方程式の形を考える。
- If it only has one variable, it is a vertical or horizontal line.
  $x = a$ is a vertical line passing through the x-axis at $a$ .
  $y = b$ is a horizontal line passing through the y-axis at $b$ .
  英語のヒント
  変数が1つだけなら、垂直または水平な直線である。 $x = a$ は、x軸上の $a$ を通る垂直な直線である。 $y = b$ は、y軸上の $b$ を通る水平な直線である。
- If $y$ is isolated on one side of the equation, in the form $y = m x + b$ , graph by using the slope and y-intercept.
  Identify the slope and y-intercept and then graph.
  英語のヒント
  $y$ が方程式の一方の辺に単独で置かれ、 $y = m x + b$ の形なら、傾きとy切片を使ってグラフを描く。傾きとy切片を特定し、グラフを描く。
- If the equation is of the form $A x + B y = C$ , find the intercepts.
  Find the x- and y-intercepts, a third point, and then graph.
  英語のヒント
  方程式が $A x + B y = C$ の形なら、切片を求める。x切片とy切片、3つ目の点を求め、グラフを描く。
Parallel lines are lines in the same plane that do not intersect.
英語のヒント
平行な直線とは、同じ平面上にあって交わらない直線である。
- Parallel lines have the same slope and different y-intercepts.
  英語のヒント
  平行な直線は傾きが等しく、y切片が異なる。
- If m₁ and m₂ are the slopes of two parallel lines then $m_{1} = m_{2} .$
  英語のヒント
  m₁とm₂が平行な2本の直線の傾きなら、 $m_{1} = m_{2}$ である。
- Parallel vertical lines have different x-intercepts.
  英語のヒント
  平行な垂直の直線は、x切片が異なる。
Perpendicular lines are lines in the same plane that form a right angle.
英語のヒント
垂直な直線とは、同じ平面上にあり、直角を作る直線である。
- If $m_{1} and m_{2}$ are the slopes of two perpendicular lines, then $m_{1} \cdot m_{2} = −1$ and $m_{1} = \frac{−1}{m_{2}}$ .
  英語のヒント
  $m_{1} かつ m_{2}$ が垂直な2本の直線の傾きなら、 $m_{1} \cdot m_{2} = −1$ かつ $m_{1} = \frac{−1}{m_{2}}$ である。
- Vertical lines and horizontal lines are always perpendicular to each other.
  英語のヒント
  垂直方向の直線と水平方向の直線は、常に互いに垂直である。