第4章グラフ

4.6 Find the Equation of a Line4.6　直線の方程式を求める

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:

英語のヒント

この節を終えると、次のことができるようになる。

Find an equation of the line given the slope and $y$ -intercept
英語のヒント
傾きと $y$ 切片から直線の方程式を求める
Find an equation of the line given the slope and a point
英語のヒント
傾きと1点から直線の方程式を求める
Find an equation of the line given two points
英語のヒント
2点から直線の方程式を求める
Find an equation of a line parallel to a given line
英語のヒント
与えられた直線に平行な直線の方程式を求める
Find an equation of a line perpendicular to a given line
英語のヒント
与えられた直線に垂直な直線の方程式を求める

Before You Begin (2)準備問題（2題）

How do online retailers know that ‘you may also like’ a particular item based on something you just ordered? How can economists know how a rise in the minimum wage will affect the unemployment rate? How do medical researchers create drugs to target cancer cells? How can traffic engineers predict the effect on your commuting time of an increase or decrease in gas prices? It’s all mathematics.

英語のヒント

オンライン小売業者は、注文したばかりの商品をもとに、別の商品も「気に入るかもしれない」とどうやってわかるのだろうか。経済学者は、最低賃金の上昇が失業率にどう影響するか、どうやってわかるのだろうか。医学研究者は、がん細胞を標的にする薬をどうやって作るのだろうか。交通技術者は、ガソリン価格の上昇や下落が通勤時間に与える影響をどう予測するのだろうか。すべて数学である。

You are at an exciting point in your mathematical journey as the mathematics you are studying has interesting applications in the real world.

英語のヒント

学んでいる数学には現実の世界で興味深い応用があり、数学を学ぶ道のりのわくわくする地点に来ている。

The physical sciences, social sciences, and the business world are full of situations that can be modeled with linear equations relating two variables. Data is collected and graphed. If the data points appear to form a straight line, an equation of that line can be used to predict the value of one variable based on the value of the other variable.

英語のヒント

自然科学、社会科学、ビジネスの世界には、2つの変数を関係づける一次方程式で表せる状況があふれている。データを集め、グラフに描く。データの点が一直線上に並ぶように見えるなら、その直線の方程式を使って、一方の変数の値からもう一方の値を予測できる。

To create a mathematical model of a linear relation between two variables, we must be able to find the equation of the line. In this section we will look at several ways to write the equation of a line. The specific method we use will be determined by what information we are given.

英語のヒント

2つの変数の一次関係を表す数学的モデルを作るには、直線の方程式を求められなければならない。この節では、直線の方程式を書く方法をいくつか見る。どの方法を使うかは、与えられた情報によって決まる。

Find an Equation of the Line Given the Slope and y-Intercept傾きとy切片から直線の方程式を求める

We can easily determine the slope and intercept of a line if the equation was written in slope–intercept form,

y = m x + b .

Now, we will do the reverse—we will start with the slope and y-intercept and use them to find the equation of the line.

英語のヒント

方程式が傾き・切片形

y = m x + b

で書かれていれば、直線の傾きと切片は簡単にわかる。今度は逆に、傾きとy切片から始めて、それらを使って直線の方程式を求める。

Example 4.57例題 4.57

Find an equation of a line with slope

−7

and y-intercept

(0, −1)

英語のヒント

傾きが

−7

、y切片が

(0, −1)

である直線の方程式を求めよ。

Solution解答

Since we are given the slope and y-intercept of the line, we can substitute the needed values into the slope–intercept form,

y = m x + b

英語のヒント

直線の傾きとy切片が与えられているので、必要な値を傾き・切片形

y = m x + b

に代入できる。

Name the slope. 傾きを示す。
Name the y-intercept. y切片を示す。
Substitute the values into $y = m x + b .$ 値を $y = m x + b$ に代入する。

Try It (2)確認問題（2題）

Sometimes, the slope and intercept need to be determined from the graph.

英語のヒント

グラフから傾きと切片を求める必要がある場合もある。

Example 4.58例題 4.58

Find the equation of the line shown.

英語のヒント

図に示された直線の方程式を求めよ。

xy座標平面のグラフ。x軸とy軸は、それぞれ−7から7まである。直線はy軸と(0, −4)で交わり、印を付けた点(3, −2)を通り、x軸と(4, 0)で交わる。

Solution解答

We need to find the slope and y-intercept of the line from the graph so we can substitute the needed values into the slope–intercept form,

y = m x + b

英語のヒント

必要な値を傾き・切片形

y = m x + b

に代入できるように、グラフから直線の傾きとy切片を求める。

To find the slope, we choose two points on the graph.

英語のヒント

傾きを求めるため、グラフ上の2点を選ぶ。

The y-intercept is

(0, −4)

and the graph passes through

(3, −2)

英語のヒント

y切片は

(0, −4)

で、グラフは

(3, −2)

を通る。

Find the slope by counting the rise and run. 縦の変化量と横の変化量を数えて傾きを求める。

Find the y-intercept. y切片を求める。
Substitute the values into $y = m x + b .$ 値を $y = m x + b$ に代入する。

Try It (2)確認問題（2題）

Find an Equation of the Line Given the Slope and a Point傾きと1点から直線の方程式を求める

Finding an equation of a line using the slope–intercept form of the equation works well when you are given the slope and y-intercept or when you read them off a graph. But what happens when you have another point instead of the y-intercept?

英語のヒント

傾きとy切片が与えられているときや、グラフから読み取れるときには、傾き・切片形を使うと直線の方程式をうまく求められる。では、y切片の代わりに別の点がわかっているときはどうなるだろうか。

We are going to use the slope formula to derive another form of an equation of the line. Suppose we have a line that has slope

m

and that contains some specific point

(x_{1}, y_{1})

and some other point, which we will just call

(x, y)

. We can write the slope of this line and then change it to a different form.

英語のヒント

傾きの公式を使って、直線の方程式の別の形を導こう。傾きが

m

で、ある特定の点

(x_{1}, y_{1})

と、単に

(x, y)

と呼ぶ別の点を通る直線を考える。この直線の傾きを書き、別の形に変形できる。

Table 4.47表 4.47
	$m = \frac{y - y_{1}}{x - x_{1}}$
Multiply both sides of the equation by $x - x_{1}$ . 方程式の両辺に $x - x_{1}$ を掛ける。	$\begin{matrix} m (x - x_{1}) & = & (\frac{y - y_{1}}{x - x_{1}}) (x - x_{1}) \end{matrix}$
Simplify. 簡単にする。	$\begin{matrix} m (x - x_{1}) & = & y - y_{1} \end{matrix}$
Rewrite the equation with the $y$ terms on the left. $y$ の項を左辺に置いて方程式を書き換える。	$\begin{matrix} y - y_{1} & = & m (x - x_{1}) \end{matrix}$

This format is called the point–slope form of an equation of a line.

英語のヒント

この形を、直線の方程式の点・傾き形という。

We can use the point–slope form of an equation to find an equation of a line when we are given the slope and one point. Then we will rewrite the equation in slope–intercept form. Most applications of linear equations use the the slope–intercept form.

英語のヒント

傾きと1点が与えられたときには、点・傾き形を使って直線の方程式を求められる。その後、傾き・切片形に書き換える。一次方程式の応用では、ほとんどの場合、傾き・切片形を使う。

Example 4.59例題 4.59

Find an Equation of a Line Given the Slope and a Point傾きと1点から直線の方程式を求める

Find an equation of a line with slope

m = \frac{2}{5}

that contains the point

(10, 3)

. Write the equation in slope–intercept form.

英語のヒント

傾きが

m = \frac{2}{5}

で、点

(10, 3)

を通る直線の方程式を求めよ。傾き・切片形で書け。

Solution解答

3列4行の表。第1列は、各ステップの名前と番号がある見出し列である。第2列には補足の説明、第3列には数式がある。第1行の左のセルには「ステップ1。傾きを特定する」、第2セルには「傾きは与えられている」とある。第3セルには直線の傾きm＝2/5がある。

第2行の第1セルには「ステップ2。点を特定する」、第2セルには「点は与えられている」とある。第3セルには順序対(10, 3)がある。10の上にx₁、3の上にy₁が書かれている。

第3行の第1セルには「ステップ3。点・傾き形y−y₁＝m(x−x₁)に値を代入する」とある。第2セルの最上行は空欄である。第3セルに点・傾き形y−y₁＝m(x−x₁)が再び書かれ、その下にx₁へ10、y₁へ3、mへ2/5を代入した式y−3＝(2/5)(x−10)がある。1行下の第2セルには「簡単にする」とあり、第3セルにはy−3＝(2/5)x−4がある。

第4行の第1セルには「方程式を傾き・切片形で書く」とある。第2セルは空欄で、第3セルにはy＝(2/5)x−1がある。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 4.60例題 4.60

Find an equation of a line with slope

m = - \frac{1}{3}

that contains the point

(6, −4)

. Write the equation in slope–intercept form.

英語のヒント

傾きが

m = - \frac{1}{3}

で、点

(6, −4)

を通る直線の方程式を求めよ。傾き・切片形で書け。

Solution解答

Since we are given a point and the slope of the line, we can substitute the needed values into the point–slope form,

y - y_{1} = m (x - x_{1})

英語のヒント

直線上の1点と傾きが与えられているので、必要な値を点・傾き形

y - y_{1} = m (x - x_{1})

に代入できる。

Identify the slope. 傾きを求める。
Identify the point. 点を特定する。
Substitute the values into $y - y_{1} = m (x - x_{1}) .$ 値を $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ に代入する。

Simplify. 簡単にする。
Write in slope–intercept form. 傾き・切片形で書く。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 4.61例題 4.61

Find an equation of a horizontal line that contains the point

(−1, 2)

. Write the equation in slope–intercept form.

英語のヒント

点

(−1, 2)

を通る水平な直線の方程式を求めよ。傾き・切片形で書け。

Solution解答

Every horizontal line has slope 0. We can substitute the slope and points into the point–slope form,

y - y_{1} = m (x - x_{1})

英語のヒント

水平な直線の傾きは、すべて0である。傾きと点を、点・傾き形

y - y_{1} = m (x - x_{1})

に代入できる。

Identify the slope. 傾きを求める。
Identify the point. 点を特定する。
Substitute the values into $y - y_{1} = m (x - x_{1}) .$ 値を $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ に代入する。

Simplify. 簡単にする。


Write in slope–intercept form. 傾き・切片形で書く。	It is in y-form, but could be written $y = 0 x + 2$ . これはy形だが、 $y = 0 x + 2$ とも書ける。

Did we end up with the form of a horizontal line,

y = a

英語のヒント

水平な直線の形

y = a

になっただろうか。

Try It (2)確認問題（2題）

第4章グラフ

4.6 Find the Equation of a Line4.6 直線の方程式を求める

Learning Objectives学習目標

Find an Equation of the Line Given the Slope and y-Intercept傾きとy切片から直線の方程式を求める

Solution解答

Solution解答

Find an Equation of the Line Given the Slope and a Point傾きと1点から直線の方程式を求める

Find an Equation of a Line Given the Slope and a Point傾きと1点から直線の方程式を求める

Solution解答

Solution解答

Solution解答

4.6 Find the Equation of a Line4.6　直線の方程式を求める