第4章グラフ

Practice Makes Perfect練習問題

Exercises 211–218練習問題 211–218

Use Geoboards to Model Slope

英語のヒント

ジオボードを使って傾きを表す

In the following exercises, find the slope modeled on each geoboard.

英語のヒント

次の練習問題では、それぞれのジオボードに表された傾きを求める。

Exercise 211問題 211

等間隔の格子状に並んだペグの図。ペグは5列5行に並んでいる。第1列・第3行のペグと第5列・第2行のペグの間に輪ゴムが張られ、線を作っている。

Solution解き方

\frac{1}{4}

Exercise 212問題 212

等間隔の格子状に並んだペグの図。ペグは5列5行に並んでいる。第2列・第4行のペグと第5列・第2行のペグの間に輪ゴムが張られ、線を作っている。

Exercise 213問題 213

等間隔の格子状に並んだペグの図。ペグは5列5行に並んでいる。第1列・第4行のペグと第4列・第2行のペグの間に輪ゴムが張られ、線を作っている。

Solution解き方

\frac{2}{3}

Exercise 214問題 214

等間隔の格子状に並んだペグの図。ペグは5列5行に並んでいる。第3列・第4行のペグと第5列・第1行のペグの間に輪ゴムが張られ、線を作っている。

Exercise 215問題 215

等間隔の格子状に並んだペグの図。ペグは5列5行に並んでいる。第2列・第1行のペグと第4列・第4行のペグの間に輪ゴムが張られ、線を作っている。

Solution解き方

\frac{−3}{2} = - \frac{3}{2}

Exercise 216問題 216

等間隔の格子状に並んだペグの図。ペグは5列5行に並んでいる。第1列・第3行のペグと第5列・第4行のペグの間に輪ゴムが張られ、線を作っている。

Exercise 217問題 217

等間隔の格子状に並んだペグの図。ペグは5列5行に並んでいる。第1列・第1行のペグと第5列・第4行のペグの間に輪ゴムが張られ、線を作っている。

Solution解き方

- \frac{3}{4}

Exercise 218問題 218

等間隔の格子状に並んだペグの図。ペグは5列5行に並んでいる。第2列・第2行のペグと第4列・第5行のペグの間に輪ゴムが張られ、線を作っている。

Exercises 219–226練習問題 219–226

In the following exercises, model each slope. Draw a picture to show your results.

英語のヒント

次の練習問題では、それぞれの傾きを模型で表し、結果を図に描く。

Exercise 219問題 219

\frac{2}{3}

Solution解き方

等間隔の格子状に並んだペグの図。ペグは5列5行に並んでいる。第2列・第5行のペグと第5列・第3行のペグの間に輪ゴムが張られ、線を作っている。

Exercise 220問題 220

\frac{3}{4}

Exercise 221問題 221

\frac{1}{4}

Solution解き方

等間隔の格子状に並んだペグの図。ペグは5列5行に並んでいる。第1列・第4行のペグと第5列・第3行のペグの間に輪ゴムが張られ、線を作っている。

Exercise 222問題 222

\frac{4}{3}

Exercise 223問題 223

- \frac{1}{2}

Solution解き方

等間隔の格子状に並んだペグの図。ペグは5列5行に並んでいる。第1列・第4行のペグと第3列・第5行のペグの間に輪ゴムが張られ、線を作っている。

Exercise 224問題 224

- \frac{3}{4}

Exercise 225問題 225

- \frac{2}{3}

Solution解き方

等間隔の格子状に並んだペグの図。ペグは5列5行に並んでいる。第1列・第2行のペグと第4列・第4行のペグの間に輪ゴムが張られ、線を作っている。

Exercise 226問題 226

- \frac{3}{2}

Exercises 227–242練習問題 227–242

Use

m = \frac{rise}{run}

to find the Slope of a Line from its Graph

英語のヒント

m = \frac{縦の変化量}{横の変化量}

を使ってグラフから直線の傾きを求める

In the following exercises, find the slope of each line shown.

英語のヒント

次の練習問題では、図の各直線の傾きを求める。

Exercise 227問題 227

xy座標平面のグラフ。x軸とy軸は、それぞれ− 10から10まである。直線は点(− 10, − 8)、(0, − 4)、(10, 0)を通る。

Solution解き方

\frac{2}{5}

Exercise 228問題 228

xy座標平面のグラフ。x軸とy軸は、それぞれ− 7から7まである。直線は点(− 2, − 8)、(2, − 2)を通る。

Exercise 229問題 229

xy座標平面のグラフ。x軸とy軸は、それぞれ− 7から7まである。直線は点(− 4, − 6)、(4, 4)を通る。

Solution解き方

\frac{5}{4}

Exercise 230問題 230

xy座標平面のグラフ。x軸とy軸は、それぞれ− 7から7まである。直線はy軸と(0, − 2)で交わり、点(3, 3)を通る。

Exercise 231問題 231

xy座標平面のグラフ。x軸とy軸は、それぞれ− 7から7まである。直線は点(− 3, 3)、(3, 1)を通る。

Solution解き方

- \frac{1}{3}

Exercise 232問題 232

xy座標平面のグラフ。x軸とy軸は、それぞれ− 7から7まである。直線は点(− 2, 4)、(2, 2)を通る。

Exercise 233問題 233

xy座標平面のグラフ。x軸とy軸は、それぞれ− 7から7まである。直線はy軸と(0, 6)で交わり、点(4, 3)を通る。

Solution解き方

- \frac{3}{4}

Exercise 234問題 234

xy座標平面のグラフ。x軸とy軸は、それぞれ−7から7まである。直線は点(−3, 1)を通り、y軸と(0, −1)で交わる。

Exercise 235問題 235

xy座標平面のグラフ。x軸とy軸は、それぞれ− 7から7まである。直線は点(− 2, 1)、(2, 4)を通る。

Solution解き方

\frac{3}{4}

Exercise 236問題 236

xy座標平面のグラフ。x軸とy軸は、それぞれ− 7から7まである。直線は点(− 1, 1)、(2, 3)を通る。

Exercise 237問題 237

xy座標平面のグラフ。x軸とy軸は、それぞれ− 7から7まである。直線は点(− 1, 6)、(1, 1)を通る。

Solution解き方

−3

Exercise 238問題 238

xy座標平面のグラフ。x軸とy軸は、それぞれ−7から7まである。直線は点(−1, 3)を通り、x軸と(3, 0)で交わる。

Exercise 239問題 239

xy座標平面のグラフ。x軸とy軸は、それぞれ− 7から7まである。直線は点(− 2, 6)、(1, 4)を通る。

Solution解き方

- \frac{2}{3}

Exercise 240問題 240

xy座標平面のグラフ。x軸とy軸は、それぞれ− 10から10まである。直線は点(− 1, 3)、(1, 2)を通る。

Exercise 241問題 241

xy座標平面のグラフ。x軸とy軸は、それぞれ− 10から10まである。直線はx軸と(− 2, 0)で交わり、点(2, 1)を通る。

Solution解き方

\frac{1}{4}

Exercise 242問題 242

xy座標平面のグラフ。x軸とy軸は、それぞれ− 10から10まである。直線は点(4, 2)、(7, 3)を通る。

Exercises 243–250練習問題 243–250

Find the Slope of Horizontal and Vertical Lines

英語のヒント

水平な直線と垂直な直線の傾きを求める

In the following exercises, find the slope of each line.

英語のヒント

次の練習問題では、それぞれの直線の傾きを求める。

Exercise 243問題 243

y = 3

Solution解き方

Exercise 244問題 244

y = 1

Exercise 245問題 245

x = 4

Solution解き方

undefined

英語のヒント

定義されない

Exercise 246問題 246

x = 2

Exercise 247問題 247

y = −2

Solution解き方

Exercise 248問題 248

y = −3

Exercise 249問題 249

x = −5

Solution解き方

undefined

英語のヒント

定義されない

Exercise 250問題 250

x = −4

Exercises 251–262練習問題 251–262

Use the Slope Formula to find the Slope of a Line between Two Points

英語のヒント

傾きの公式を使って2点を通る直線の傾きを求める

In the following exercises, use the slope formula to find the slope of the line between each pair of points.

英語のヒント

次の練習問題では、傾きの公式を使い、各組の2点を通る直線の傾きを求める。

Exercise 251問題 251

(1, 4), (3, 9)

Solution解き方

\frac{5}{2}

Exercise 252問題 252

(2, 3), (5, 7)

Exercise 253問題 253

(0, 3), (4, 6)

Solution解き方

\frac{3}{4}

Exercise 254問題 254

(0, 1), (5, 4)

Exercise 255問題 255

(2, 5), (4, 0)

Solution解き方

- \frac{5}{2}

Exercise 256問題 256

(3, 6), (8, 0)

Exercise 257問題 257

(−3, 3), (4, −5)

Solution解き方

- \frac{8}{7}

Exercise 258問題 258

(−2, 4), (3, −1)

Exercise 259問題 259

(−1, −2), (2, 5)

Solution解き方

\frac{7}{3}

Exercise 260問題 260

(−2, −1), (6, 5)

Exercise 261問題 261

(4, −5), (1, −2)

Solution解き方

−1

Exercise 262問題 262

(3, −6), (2, −2)

Exercises 263–278練習問題 263–278

Graph a Line Given a Point and the Slope

英語のヒント

1点と傾きが与えられた直線を描く

In the following exercises, graph each line with the given point and slope.

英語のヒント

次の練習問題では、与えられた点と傾きを使って、各直線のグラフを描け。

Exercise 263問題 263

(1, −2)

;

m = \frac{3}{4}

Solution解き方

xy座標平面のグラフ。x軸とy軸は、それぞれ− 12から12まである。直線は点(1, − 2)、(5, 1)を通る。

Exercise 264問題 264

(1, −1)

;

m = \frac{2}{3}

Exercise 265問題 265

(2, 5)

;

m = - \frac{1}{3}

Solution解き方

xy座標平面のグラフ。x軸とy軸は、それぞれ− 12から12まである。直線は点(2, 5)、(5, 4)を通る。

Exercise 266問題 266

(1, 4)

;

m = - \frac{1}{2}

Exercise 267問題 267

(−3, 4)

;

m = - \frac{3}{2}

Solution解き方

xy座標平面のグラフ。x軸とy軸は、それぞれ− 12から12まである。直線は点(− 3, 4)、(− 1, 1)を通る。

Exercise 268問題 268

(−2, 5)

;

m = - \frac{5}{4}

Exercise 269問題 269

(−1, −4)

;

m = \frac{4}{3}

Solution解き方

xy座標平面のグラフ。x軸とy軸は、それぞれ−12から12まである。直線は点(−1, −4)を通り、x軸と(2, 0)で交わる。

Exercise 270問題 270

(−3, −5)

;

m = \frac{3}{2}

Exercise 271問題 271

y-intercept 3;

m = - \frac{2}{5}

英語のヒント

y切片3；

m = - \frac{2}{5}

Solution解き方

xy座標平面のグラフ。x軸とy軸は、それぞれ− 12から12まである。直線はy軸と(0, 3)で交わり、点(5, 1)を通る。

Exercise 272問題 272

y-intercept 5;

m = - \frac{4}{3}

英語のヒント

y切片5；

m = - \frac{4}{3}

Exercise 273問題 273

x-intercept

−2

;

m = \frac{3}{4}

英語のヒント

x切片

−2

；

m = \frac{3}{4}

Solution解き方

xy座標平面のグラフ。x軸とy軸は、それぞれ− 12から12まである。直線はx軸と(− 2, 0)で交わり、点(2, 3)を通る。

Exercise 274問題 274

x-intercept

−1

;

m = \frac{1}{5}

英語のヒント

x切片

−1

；

m = \frac{1}{5}

Exercise 275問題 275

(−3, 3)

;

m = 2

Solution解き方

xy座標平面のグラフ。x軸とy軸は、それぞれ− 12から12まである。直線は点(− 3, 3)、(− 2, 5)を通る。

Exercise 276問題 276

(−4, 2)

;

m = 4

Exercise 277問題 277

(1, 5)

;

m = −3

Solution解き方

xy座標平面のグラフ。x軸とy軸は、それぞれ− 12から12まである。直線は点(1, 5)、(2, 2)を通る。

Exercise 278問題 278

(2, 3)

;

m = −1

Everyday Math日常生活の数学

Exercises 279–284練習問題 279–284

Exercise 279問題 279

Slope of a roof. An easy way to determine the slope of a roof is to set one end of a 12 inch level on the roof surface and hold it level. Then take a tape measure or ruler and measure from the other end of the level down to the roof surface. This will give you the slope of the roof. Builders, sometimes, refer to this as pitch and state it as an “

x

12 pitch” meaning

\frac{x}{12}

, where

x

is the measurement from the roof to the level—the rise. It is also sometimes stated as an “

x

-in-12 pitch”.

英語のヒント

屋根の傾き。屋根の傾きを簡単に求めるには、12インチの水準器の一端を屋根の表面に置き、水平に保つ。次に巻尺や定規を使って、水準器のもう一端から屋根の表面までの下向きの距離を測る。これで屋根の傾きが求まる。建築業者はこれを勾配と呼び、「

x

・12勾配」と表すことがある。これは

\frac{x}{12}

という意味で、

x

は屋根から水準器までの測定値、つまり縦の変化量である。「12に対して

x

の勾配」と表すこともある。

ⓐ What is the slope of the roof in this picture?
英語のヒント
ⓐ この写真の屋根の傾きはいくつか。
ⓑ What is the pitch in construction terms?
英語のヒント
ⓑ 建築用語では、どのような勾配になるか。

Solution解き方

ⓐ

\frac{1}{3}

ⓑ 4 12 pitch or 4-in-12 pitch

英語のヒント

ⓐ

\frac{1}{3}

　ⓑ 4・12勾配、または12に対して4の勾配

Exercise 280問題 280

The slope of the roof shown here is measured with a 12” level and a ruler. What is the slope of this roof?

英語のヒント

図の屋根の傾きは、12インチの水準器と定規で測っている。この屋根の傾きはいくつか。

家の傾斜した屋根の片側。屋根の縦の変化量は定規で測られ、7インチと示されている。横の変化量は12インチの水準器で測られ、12インチと示されている。

Exercise 281問題 281

Road grade. A local road has a grade of 6%. The grade of a road is its slope expressed as a percent. Find the slope of the road as a fraction and then simplify. What rise and run would reflect this slope or grade?

英語のヒント

道路の勾配。ある地域の道路の勾配は6％である。道路の勾配とは、傾きを百分率で表したものである。道路の傾きを分数で求め、約分せよ。この傾き、すなわち勾配を表す縦の変化量と横の変化量は、どのような値になるか。

Solution解き方

\frac{3}{50}

; rise = 3, run = 50

英語のヒント

\frac{3}{50}

；縦の変化量＝3、横の変化量＝50

Exercise 282問題 282

Highway grade. A local road rises 2 feet for every 50 feet of highway.

英語のヒント

道路の勾配。ある地域の道路は、50フィート進むごとに2フィート上がる。

ⓐ What is the slope of the highway?
英語のヒント
ⓐ 道路の傾きはいくつか。
ⓑ The grade of a highway is its slope expressed as a percent. What is the grade of this highway?
英語のヒント
ⓑ 道路の勾配は、傾きを百分率で表したものである。この道路の勾配はいくつか。

Exercise 283問題 283

Wheelchair ramp. The rules for wheelchair ramps require a maximum 1-inch rise for a 12-inch run.

英語のヒント

車椅子用スロープ。車椅子用スロープの規則では、横に12インチ進む間の上昇は最大1インチとされている。

ⓐ How long must the ramp be to accommodate a 24-inch rise to the door?
英語のヒント
ⓐ ドアまで24インチ上がるには、スロープの長さはどれだけ必要か。
ⓑ Create a model of this ramp.
英語のヒント
ⓑ このスロープの模型を作れ。

Solution解き方

ⓐ 288 inches (24 feet) ⓑ Models will vary.

英語のヒント

ⓐ 288インチ（24フィート）　ⓑ 模型はさまざまである。

Exercise 284問題 284

Wheelchair ramp. A 1-inch rise for a 16-inch run makes it easier for the wheelchair rider to ascend a ramp.

英語のヒント

車椅子用スロープ。横に16インチ進む間に1インチ上がるスロープは、車椅子利用者にとって上りやすい。

ⓐ How long must a ramp be to easily accommodate a 24-inch rise to the door?
英語のヒント
ⓐ ドアまで24インチ上がるスロープを上りやすくするには、長さはどれだけ必要か。
ⓑ Create a model of this ramp.
英語のヒント
ⓑ このスロープの模型を作れ。

Writing Exercises記述問題

Exercises 285–287練習問題 285–287

Exercise 285問題 285

What does the sign of the slope tell you about a line?

英語のヒント

傾きの符号から、直線について何が分かるか。

Solution解き方

When the slope is a positive number the line goes up from left to right. When the slope is a negative number the line goes down from left to right.

英語のヒント

傾きが正の数なら、直線は左から右へ上がる。傾きが負の数なら、直線は左から右へ下がる。

Exercise 286問題 286

How does the graph of a line with slope

m = \frac{1}{2}

differ from the graph of a line with slope

m = 2

英語のヒント

傾きが

m = \frac{1}{2}

の直線のグラフは、傾きが

m = 2

の直線のグラフとどう違うか。

Exercise 287問題 287

Why is the slope of a vertical line “undefined”?

英語のヒント

垂直な直線の傾きが「定義されない」のはなぜか。

Solution解き方

A vertical line has 0 run and since division by 0 is undefined the slope is undefined.

英語のヒント

垂直な直線の横の変化量は0であり、0による割り算は定義されないので、傾きも定義されない。

Self Check自己チェック

ⓐ After completing the exercises, use this checklist to evaluate your mastery of the objectives of this section.

英語のヒント

ⓐ 練習問題を終えたら、このチェックリストを使って、この節の学習目標をどれだけ達成できたかを評価する。

7行4列の表。第1行の列見出しは、順に「私は…できる」「自信をもって」「少し助けがあれば」「いいえ、わからない」。「私は…できる」の列は、第2行が「ジオボードで傾きを表す」、第3行が「m＝縦の変化量÷横の変化量を使って、グラフから直線の傾きを求める」、第4行が「水平な直線と垂直な直線の傾きを求める」、第5行が「傾きの公式を使って、2点を通る直線の傾きを求める」、第6行が「1点と傾きが与えられた直線のグラフを描く」、最終行が「傾きの応用問題を解く」である。残りの列は空欄である。

ⓑ On a scale of 1–10, how would you rate your mastery of this section in light of your responses on the checklist? How can you improve this?

英語のヒント

ⓑ チェックリストへの回答を踏まえて、この節の習熟度を1～10で評価すると、いくつになるか。どうすれば改善できるか。

geoboard

ジオボード

A geoboard is a board with a grid of pegs on it.

英語のヒント

ジオボードは、格子状にペグを並べた板である。

negative slope

負の傾き

A negative slope of a line goes down as you read from left to right.

英語のヒント

負の傾きをもつ直線は、左から右へ読むと下がる。

positive slope

正の傾き

A positive slope of a line goes up as you read from left to right.

英語のヒント

正の傾きをもつ直線は、左から右へ読むと上がる。

rise

縦の変化量

The rise of a line is its vertical change.

英語のヒント

直線の縦の変化量は、その垂直方向の変化である。

run

横の変化量

The run of a line is its horizontal change.

英語のヒント

直線の横の変化量は、その水平方向の変化である。

slope formula

傾きの公式

The slope of the line between two points

(x_{1}, y_{1})

and

(x_{2}, y_{2})

m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}

英語のヒント

2点

(x_{1}, y_{1})

と

(x_{2}, y_{2})

を通る直線の傾きは、

m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}

である。

slope of a line

直線の傾き

The slope of a line is

m = \frac{rise}{run}

. The rise measures the vertical change and the run measures the horizontal change.

英語のヒント

直線の傾きは

m = \frac{縦の変化量}{横の変化量}

である。縦の変化量は垂直方向の変化を、横の変化量は水平方向の変化を測る。