第4章グラフ

Find an Equation of the Line Given Two Points2点から直線の方程式を求める

When real-world data is collected, a linear model can be created from two data points. In the next example we’ll see how to find an equation of a line when just two points are given.

英語のヒント

現実のデータを集めたときには、2つのデータ点から一次モデルを作れる。次の例では、2点だけが与えられたときに、直線の方程式を求める方法を見る。

We have two options so far for finding an equation of a line: slope–intercept or point–slope. Since we will know two points, it will make more sense to use the point–slope form.

英語のヒント

これまで学んだ、直線の方程式を求める方法には、傾き・切片形と点・傾き形の2つの選択肢がある。2点がわかっているので、点・傾き形を使うほうが理にかなっている。

But then we need the slope. Can we find the slope with just two points? Yes. Then, once we have the slope, we can use it and one of the given points to find the equation.

英語のヒント

しかし、そのためには傾きが必要である。2点だけで傾きを求められるだろうか。求められる。傾きがわかれば、それと与えられた点の一方を使って、方程式を求められる。

Example 4.62例題 4.62

Find an Equation of a Line Given Two Points2点から直線の方程式を求める

Find an equation of a line that contains the points

(5, 4)

and

(3, 6)

. Write the equation in slope–intercept form.

英語のヒント

点

(5, 4)

と

(3, 6)

を通る直線の方程式を求めよ。傾き・切片形で書け。

Solution解答

3列4行の表。第1列は、各ステップの名前と番号がある見出し列である。第2列には補足の説明、第3列には数式がある。第1行の左のセルには「ステップ1。与えられた点を使って傾きを求める」、第2セルには「点・傾き形を使うため、まず傾きを求める」とある。第3セルには直線の傾きの公式m＝(y²−y¹)/(x²−x¹)があり、その下にm＝(6−4)/(3−5)、m＝2/(−2)、m＝−1と続く。

第2行の第1セルには「ステップ2。1点を選ぶ」、第2セルには「どちらの点を選んでもよい」とある。第3セルには順序対(5, 4)があり、5の上にx₁、4の上にy₁が書かれている。

第3行の第1セルには「ステップ3。点・傾き形y−y₁＝m(x−x₁)に値を代入する」とある。第2セルの最上行は空欄である。第3セルには点・傾き形y−y₁＝m(x−x₁)があり、その下にx₁へ5、y₁へ4、mへ−1を代入した式y−4＝−1(x−5)がある。その下にy−4＝−x＋5がある。

第4行の第1セルには「ステップ4。方程式を傾き・切片形で書く」とある。第2セルは空欄で、第3セルにはy＝−x＋9がある。

Use the point

(3, 6)

and see that you get the same equation.

英語のヒント

点

(3, 6)

を使って、同じ方程式になることを確かめよう。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 4.63例題 4.63

Find an equation of a line that contains the points

(−3, −1)

and

(2, −2)

. Write the equation in slope–intercept form.

英語のヒント

点

(−3, −1)

と

(2, −2)

を通る直線の方程式を求めよ。傾き・切片形で書け。

Solution解答

Since we have two points, we will find an equation of the line using the point–slope form. The first step will be to find the slope.

英語のヒント

2点があるので、点・傾き形を使って直線の方程式を求める。最初に傾きを求める。

Find the slope of the line through (−3, −1) and (2, −2). (−3, −1)と(2, −2)を通る直線の傾きを求める。



Choose either point. どちらの点を選んでもよい。
Substitute the values into $y - y_{1} = m (x - x_{1}) .$ 値を $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ に代入する。


Write in slope–intercept form. 傾き・切片形で書く。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 4.64例題 4.64

Find an equation of a line that contains the points

(−2, 4)

and

(−2, −3)

. Write the equation in slope–intercept form.

英語のヒント

点

(−2, 4)

と

(−2, −3)

を通る直線の方程式を求めよ。傾き・切片形で書け。

Solution解答

Again, the first step will be to find the slope.

英語のヒント

ここでも、最初に傾きを求める。

Find the slope of the line through $(−2, 4) and (−2, −3)$ . $(−2, 4) かつ (−2, −3)$ を通る直線の傾きを求める。	$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$
	$m = \frac{−3 - 4}{−2 - (−2)}$
	$m = \frac{−7}{0}$
	The slope is undefined. 傾きは定義されない。

This tells us it is a vertical line. Both of our points have an x-coordinate of

−2

. So our equation of the line is

x = −2

. Since there is no

y

, we cannot write it in slope–intercept form.

英語のヒント

これから、垂直な直線だとわかる。2点のx座標はどちらも

−2

である。したがって、直線の方程式は

x = −2

である。

y

がないので、傾き・切片形では書けない。

You may want to sketch a graph using the two given points. Does the graph agree with our conclusion that this is a vertical line?

英語のヒント

与えられた2点を使って、グラフを描いてみてもよい。グラフは、垂直な直線だという結論と一致するだろうか。

Try It (2)確認問題（2題）

We have seen that we can use either the slope–intercept form or the point–slope form to find an equation of a line. Which form we use will depend on the information we are given. This is summarized in Table 4.48.

英語のヒント

傾き・切片形と点・傾き形のどちらでも、直線の方程式を求められることを見てきた。どちらを使うかは、与えられた情報によって決まる。表4.48にまとめる。

Table 4.48表 4.48
To Write an Equation of a Line 直線の方程式を書くには
If given: 与えられたもの：	Use: 使う形：	Form: 式の形：
Slope and y-intercept 傾きとy切片	slope–intercept 傾き・切片	$y = m x + b$
Slope and a point 傾きと1点	point–slope 点・傾き	$y - y_{1} = m (x - x_{1})$
Two points 2点	point–slope 点・傾き	$y - y_{1} = m (x - x_{1})$

Find an Equation of a Line Parallel to a Given Line与えられた直線に平行な直線の方程式を求める

Suppose we need to find an equation of a line that passes through a specific point and is parallel to a given line. We can use the fact that parallel lines have the same slope. So we will have a point and the slope—just what we need to use the point–slope equation.

英語のヒント

ある点を通り、与えられた直線に平行な直線の方程式を求めるとしよう。平行な直線の傾きは等しいという事実を使える。すると、点・傾き形の方程式を使うのに必要な1点と傾きがそろう。

First let’s look at this graphically.

英語のヒント

まず、グラフで見てみよう。

The graph shows the graph of

y = 2 x - 3

. We want to graph a line parallel to this line and passing through the point

(−2, 1)

英語のヒント

図には

y = 2 x - 3

のグラフがある。この直線に平行で、点

(−2, 1)

を通る直線を描きたい。

xy座標平面のグラフ。x軸とy軸は、それぞれ− 7から7まである。方程式y ＝ 2x − 3の直線は、y軸と(0, − 3)で、x軸と(3/2, 0)で交わる。グラフの別の場所に点(− 2, 1)がとられている。

We know that parallel lines have the same slope. So the second line will have the same slope as

y = 2 x - 3

. That slope is

m_{∥} = 2

. We’ll use the notation

m_{∥}

to represent the slope of a line parallel to a line with slope

m

. (Notice that the subscript

∥

looks like two parallel lines.)

英語のヒント

平行な直線の傾きは等しいことがわかっている。したがって、2本目の直線の傾きは

y = 2 x - 3

と等しく、その傾きは

m_{∥} = 2

である。傾き

m

の直線に平行な直線の傾きを表すために、記号

m_{∥}

を使う。（添字

∥

は、2本の平行な直線のように見えることに注目しよう。）

The second line will pass through

(−2, 1)

and have

m = 2

. To graph the line, we start at

(−2, 1)

and count out the rise and run. With

m = 2

(or

m = \frac{2}{1}

), we count out the rise 2 and the run 1. We draw the line.

英語のヒント

2本目の直線は

(−2, 1)

を通り、

m = 2

である。グラフを描くには、

(−2, 1)

から始め、縦の変化量と横の変化量を数える。

m = 2

（すなわち

m = \frac{2}{1}

）なので、縦の変化量2、横の変化量1を数える。直線を描く。

xy座標平面のグラフ。x軸とy軸は、それぞれ−7から7まである。方程式y＝2x−3の直線はy軸と(0, −3)で、x軸と(3/2, 0)で交わる。点(−2, 1)と(−1, 3)がとられている。最初の直線に平行な2本目の直線は、x軸と(−5/2, 0)で交わり、点(−2, 1)と(−1, 3)を通り、y軸と(0, 5)で交わる。

Do the lines appear parallel? Does the second line pass through

(−2, 1)

英語のヒント

直線は平行に見えるだろうか。2本目の直線は

(−2, 1)

を通るだろうか。

Now, let’s see how to do this algebraically.

英語のヒント

次に、これを代数的に行う方法を見よう。

We can use either the slope–intercept form or the point–slope form to find an equation of a line. Here we know one point and can find the slope. So we will use the point–slope form.

英語のヒント

傾き・切片形と点・傾き形のどちらでも、直線の方程式を求められる。ここでは1点がわかっており、傾きも求められるので、点・傾き形を使う。

Example 4.65例題 4.65

How to Find an Equation of a Line Parallel to a Given Line与えられた直線に平行な直線の方程式を求める方法

Find an equation of a line parallel to

y = 2 x - 3

that contains the point

(−2, 1)

. Write the equation in slope–intercept form.

英語のヒント

y = 2 x - 3

に平行で、点

(−2, 1)

を通る直線の方程式を求めよ。傾き・切片形で書け。

Solution解答

3列4行の表。第1列は、各ステップの名前と番号がある見出し列である。第2列には補足の説明、第3列には数式がある。第1行の左のセルには「ステップ1。与えられた直線の傾きを求める」、第2セルには「直線は傾き・切片形である。y＝2x−3」とある。第3セルには直線の傾きm＝2がある。

第2行の第1セルには「ステップ2。平行な直線の傾きを求める」、第2セルには「平行な直線の傾きは等しい」とある。第3セルには平行な直線の傾きm∥＝2がある。

第4行の第1セルには「ステップ4。点・傾き形y−y₁＝m(x−x₁)に値を代入する」とある。第2セルの上部は空欄である。第3セルには点・傾き形y−y₁＝m(x−x₁)があり、その下にx₁へ−2、y₁へ1、mへ2を代入した式y−1＝2(x−(−2))がある。1行下の第2セルには「簡単にする」とある。右の列にはy−1＝2×x＋2、その下にy−1＝2x＋4がある。

第5行の第1セルには「ステップ5。方程式を傾き・切片形で書く」とある。第2セルは空欄で、第3セルにはy＝2x＋5がある。

Does this equation make sense? What is the y-intercept of the line? What is the slope?

英語のヒント

この方程式は妥当だろうか。直線のy切片は何か。傾きはいくつか。

Try It (2)確認問題（2題）