第4章グラフ

4.5 Use the Slope-Intercept Form of an Equation of a Line4.5　直線の方程式の傾き・切片形を使う

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:

英語のヒント

この節を終えると、次のことができるようになる。

Recognize the relation between the graph and the slope–intercept form of an equation of a line
英語のヒント
直線のグラフと方程式の傾き・切片形との関係を理解する
Identify the slope and y-intercept form of an equation of a line
英語のヒント
直線の方程式の傾きとy切片の形を特定する
Graph a line using its slope and intercept
英語のヒント
傾きと切片を使って直線のグラフを描く
Choose the most convenient method to graph a line
英語のヒント
直線を描くのに最も便利な方法を選ぶ
Graph and interpret applications of slope–intercept
英語のヒント
傾き・切片の応用をグラフに描き、解釈する
Use slopes to identify parallel lines
英語のヒント
傾きを使って平行な直線を見分ける
Use slopes to identify perpendicular lines
英語のヒント
傾きを使って垂直な直線を見分ける

Before You Begin (3)準備問題（3題）

Recognize the Relation Between the Graph and the Slope–Intercept Form of an Equation of a Line直線のグラフと方程式の傾き・切片形との関係を理解する

We have graphed linear equations by plotting points, using intercepts, recognizing horizontal and vertical lines, and using the point–slope method. Once we see how an equation in slope–intercept form and its graph are related, we’ll have one more method we can use to graph lines.

英語のヒント

これまで、点をとる方法、切片を使う方法、水平な直線と垂直な直線を見分ける方法、点と傾きを使う方法によって、一次方程式のグラフを描いてきた。傾き・切片形の方程式とそのグラフの関係がわかれば、直線のグラフを描く方法がもう1つ増える。

In Graph Linear Equations in Two Variables, we graphed the line of the equation

y = \frac{1}{2} x + 3

by plotting points. See Figure 4.24. Let’s find the slope of this line.

英語のヒント

「2変数の一次方程式のグラフを描く」では、点をとって方程式

y = \frac{1}{2} x + 3

の直線を描いた。図4.24を参照する。この直線の傾きを求めよう。

xy座標平面上の直線のグラフ。x軸とy軸は、それぞれ−8から8まである。直線には方程式y＝(1/2)x＋3とラベルが付いている。点(0, 3)、(2, 4)、(4, 5)にもラベルがある。赤い垂直な線が点(2, 4)から始まり、その1目盛り上で終わる。「縦の変化量＝1」とラベルが付いている。赤い水平な線が、垂直な線の終点から始まり、点(4, 5)で終わる。「横の変化量＝2」とラベルが付いている。赤い線は、直線y＝(1/2)x＋3を斜辺とする直角三角形を作る。 — Figure 4.24図 4.24

The red lines show us the rise is 1 and the run is 2. Substituting into the slope formula:

英語のヒント

赤い線から、縦の変化量は1、横の変化量は2とわかる。傾きの公式に代入すると：

\begin{matrix} m & = & \frac{rise}{run} \\ m & = & \frac{1}{2} \end{matrix}

\begin{matrix} m & = & \frac{縦の変化量}{横の変化量} \\ m & = & \frac{1}{2} \end{matrix}

What is the y-intercept of the line? The y-intercept is where the line crosses the y-axis, so y-intercept is

(0, 3)

. The equation of this line is:

英語のヒント

直線のy切片は何か。y切片は直線がy軸を横切る点なので、

(0, 3)

である。この直線の方程式は：

Notice, the line has:

英語のヒント

直線の次の値に注目する：

When a linear equation is solved for

y

, the coefficient of the

x

term is the slope and the constant term is the y-coordinate of the y-intercept. We say that the equation

y = \frac{1}{2} x + 3

is in slope–intercept form.

英語のヒント

一次方程式を

y

について解くと、

x

の項の係数が傾き、定数項がy切片のy座標になる。方程式

y = \frac{1}{2} x + 3

は、傾き・切片形であるという。

「m＝1/2；y切片は(0, 3)」とある。傾き1/2は赤色、y切片の数3は青色である。その下に方程式y＝(1/2)x＋3があり、分数1/2は赤色、数3は青色である。さらに下に方程式y＝mx＋bがあり、変数mは赤色、変数bは青色である。

Sometimes the slope–intercept form is called the “y-form.”

英語のヒント

傾き・切片形は「y形」と呼ばれることもある。

Example 4.40例題 4.40

Use the graph to find the slope and y-intercept of the line,

y = 2 x + 1

英語のヒント

グラフを使って、直線

y = 2 x + 1

の傾きとy切片を求めよ。

Compare these values to the equation

y = m x + b

英語のヒント

これらの値を方程式

y = m x + b

と比較せよ。

Solution解答

To find the slope of the line, we need to choose two points on the line. We’ll use the points

(0, 1)

and

(1, 3)

英語のヒント

直線の傾きを求めるには、直線上の2点を選ぶ必要がある。点

(0, 1)

と

(1, 3)

を使う。


Find the rise and run. 縦の変化量と横の変化量を求める。


Find the y-intercept of the line. 直線のy切片を求める。	The y-intercept is the point (0, 1). y切片は点(0, 1)である。

The slope is the same as the coefficient of

x

and the y-coordinate of the y-intercept is the same as the constant term.

英語のヒント

傾きは

x

の係数に等しく、y切片のy座標は定数項に等しい。

Try It (2)確認問題（2題）

Identify the Slope and y-Intercept From an Equation of a Line直線の方程式から傾きとy切片を特定する

In Understand Slope of a Line, we graphed a line using the slope and a point. When we are given an equation in slope–intercept form, we can use the y-intercept as the point, and then count out the slope from there. Let’s practice finding the values of the slope and y-intercept from the equation of a line.

英語のヒント

「直線の傾きを理解する」では、傾きと1点を使って直線のグラフを描いた。傾き・切片形の方程式が与えられれば、y切片をその点として使い、そこから傾きに従って縦と横に進める。直線の方程式から、傾きとy切片の値を求める練習をしよう。

Example 4.41例題 4.41

Identify the slope and y-intercept of the line with equation

y = −3 x + 5

英語のヒント

方程式

y = −3 x + 5

で表される直線の傾きとy切片を特定せよ。

Solution解答

We compare our equation to the slope–intercept form of the equation.

英語のヒント

与えられた方程式を、方程式の傾き・切片形と比較する。


Write the equation of the line. 直線の方程式を書く。
Identify the slope. 傾きを求める。
Identify the y-intercept. y切片を特定する。

Try It (2)確認問題（2題）

When an equation of a line is not given in slope–intercept form, our first step will be to solve the equation for

y

英語のヒント

直線の方程式が傾き・切片形で与えられていなければ、最初に

y

について解く。

Example 4.42例題 4.42

Identify the slope and y-intercept of the line with equation

x + 2 y = 6

英語のヒント

方程式

x + 2 y = 6

で表される直線の傾きとy切片を特定せよ。

Solution解答

This equation is not in slope–intercept form. In order to compare it to the slope–intercept form we must first solve the equation for

y

英語のヒント

この方程式は傾き・切片形ではない。傾き・切片形と比較するために、まず

y

について解かなければならない。

Solve for y. yについて解く。	$x + 2 y = 6$
Subtract x from each side. 両辺からxを引く。
Divide both sides by 2. 両辺を2で割る。
Simplify. 簡単にする。
$(Remember: \frac{a + b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c})$ $(思い出そう： \frac{a + b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c})$
Simplify. 簡単にする。
Write the slope–intercept form of the equation of the line. 直線の方程式を傾き・切片形で書く。
Write the equation of the line. 直線の方程式を書く。
Identify the slope. 傾きを求める。
Identify the y-intercept. y切片を特定する。

Try It (2)確認問題（2題）

第4章グラフ

4.5 Use the Slope-Intercept Form of an Equation of a Line4.5 直線の方程式の傾き・切片形を使う

Learning Objectives学習目標

Recognize the Relation Between the Graph and the Slope–Intercept Form of an Equation of a Line直線のグラフと方程式の傾き・切片形との関係を理解する

Solution解答

Identify the Slope and y-Intercept From an Equation of a Line直線の方程式から傾きとy切片を特定する

Solution解答

Solution解答

4.5 Use the Slope-Intercept Form of an Equation of a Line4.5　直線の方程式の傾き・切片形を使う