第4章グラフ

4.1 Use the Rectangular Coordinate System4.1　直交座標系を使う

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:

英語のヒント

この節を終えると、次のことができるようになる。

Plot points in a rectangular coordinate system
英語のヒント
直交座標系に点をとる
Verify solutions to an equation in two variables
英語のヒント
2変数の方程式の解を確かめる
Complete a table of solutions to a linear equation
英語のヒント
一次方程式の解の表を完成させる
Find solutions to a linear equation in two variables
英語のヒント
2変数の一次方程式の解を求める

Before You Begin (3)準備問題（3題）

Plot Points on a Rectangular Coordinate System直交座標平面に点を取る

Just like maps use a grid system to identify locations, a grid system is used in algebra to show a relationship between two variables in a rectangular coordinate system. The rectangular coordinate system is also called the xy-plane or the ‘coordinate plane’.

英語のヒント

地図が格子を使って場所を特定するのと同じように、代数でも格子を使い、直交座標系で2つの変数の関係を示す。直交座標系は、xy平面、または「座標平面」とも呼ばれる。

The horizontal number line is called the x-axis. The vertical number line is called the y-axis. The x-axis and the y-axis together form the rectangular coordinate system. These axes divide a plane into four regions, called quadrants. The quadrants are identified by Roman numerals, beginning on the upper right and proceeding counterclockwise. See Figure 4.2.

英語のヒント

横向きの数直線をx軸、縦向きの数直線をy軸という。x軸とy軸が一緒になって直交座標系を作る。これらの軸は平面を4つの領域に分け、それぞれを象限という。象限には、右上から反時計回りにローマ数字で番号を付ける。図4.2を参照する。

xy座標平面のグラフ。x軸とy軸は、それぞれ−7から7まである。平面の右上に「I」、左上に「II」、左下に「III」、右下に「IV」とラベルが付いている。 — Figure 4.2図 4.2
‘Quadrant’ has the root ‘quad,’ which means ‘four.’
英語のヒント
「quadrant（象限）」には、「4」を意味する語根「quad」が含まれている。

In the rectangular coordinate system, every point is represented by an ordered pair. The first number in the ordered pair is the x-coordinate of the point, and the second number is the y-coordinate of the point.

英語のヒント

直交座標では、どの点も順序対によって表される。順序対の最初の数はその点のx座標、2つ目の数はy座標である。

The phrase ‘ordered pair’ means the order is important. What is the ordered pair of the point where the axes cross? At that point both coordinates are zero, so its ordered pair is

(0, 0)

. The point

(0, 0)

has a special name. It is called the origin.

英語のヒント

「順序対」という言葉は、順番が重要であることを意味する。軸が交わる点の順序対は何だろうか。この点では両方の座標が0なので、順序対は

(0, 0)

である。点

(0, 0)

には特別な名前があり、原点という。

We use the coordinates to locate a point on the xy-plane. Let’s plot the point

(1, 3)

as an example. First, locate 1 on the x-axis and lightly sketch a vertical line through

x = 1

. Then, locate 3 on the y-axis and sketch a horizontal line through

y = 3

. Now, find the point where these two lines meet—that is the point with coordinates

(1, 3)

英語のヒント

座標を使って、xy平面上の点の位置を定める。例として点

(1, 3)

をとろう。まずx軸上の1を見つけ、

x = 1

を通る垂直な線を薄く描く。次にy軸上の3を見つけ、

y = 3

を通る水平な線を描く。この2本の線が出会う点を見つけよう。それが座標

(1, 3)

の点である。

xy座標平面のグラフ。x軸とy軸は、それぞれ−6から6まである。原点からx軸上の2まで、右向きに矢印が伸びている。点(1, 3)がとられ、ラベルが付いている。x軸に平行な点線とy軸に平行な点線が、(1, 3)で垂直に交わる。x軸に平行な点線はy軸と3で交わり、y軸に平行な点線はx軸と1で交わる。

Notice that the vertical line through

x = 1

and the horizontal line through

y = 3

are not part of the graph. We just used them to help us locate the point

(1, 3)

英語のヒント

x = 1

を通る垂直な線と、

y = 3

を通る水平な線は、グラフの一部ではない。点

(1, 3)

の位置を見つけるために使っただけである。

Example 4.1例題 4.1

Plot each point in the rectangular coordinate system and identify the quadrant in which the point is located:

英語のヒント

それぞれの点を直交座標平面に取り、その点がどの象限にあるかを答える。

ⓐ

(−5, 4)

ⓑ

(−3, −4)

ⓒ

(2, −3)

ⓓ

(−2, 3)

ⓔ

(3, \frac{5}{2})

Solution解答

The first number of the coordinate pair is the x-coordinate, and the second number is the y-coordinate.

英語のヒント

座標の組の第1の数がx座標、第2の数がy座標である。

ⓐ Since $x = −5$ , the point is to the left of the y-axis. Also, since $y = 4$ , the point is above the x-axis. The point $(−5, 4)$ is in Quadrant II.
英語のヒント
ⓐ $x = −5$ なので、点はy軸の左側にある。また、 $y = 4$ なので、点はx軸の上側にある。点 $(−5, 4)$ は第II象限にある。
ⓑ Since $x = −3$ , the point is to the left of the y-axis. Also, since $y = −4$ , the point is below the x-axis. The point $(−3, −4)$ is in Quadrant III.
英語のヒント
ⓑ $x = −3$ なので、点はy軸の左側にある。また、 $y = −4$ なので、点はx軸の下側にある。点 $(−3, −4)$ は第III象限にある。
ⓒ Since $x = 2$ , the point is to the right of the y-axis. Since $y = −3$ , the point is below the x-axis. The point $(2, −3)$ is in Quadrant lV.
英語のヒント
ⓒ $x = 2$ なので、点はy軸の右側にある。 $y = −3$ なので、点はx軸の下側にある。点 $(2, −3)$ は第IV象限にある。
ⓓ Since $x = −2$ , the point is to the left of the y-axis. Since $y = 3$ , the point is above the x-axis. The point $(−2, 3)$ is in Quadrant II.
英語のヒント
ⓓ $x = −2$ なので、点はy軸の左側にある。 $y = 3$ なので、点はx軸の上側にある。点 $(−2, 3)$ は第II象限にある。
ⓔ Since $x = 3$ , the point is to the right of the y-axis. Since $y = \frac{5}{2}$ , the point is above the x-axis. (It may be helpful to write $\frac{5}{2}$ as a mixed number or decimal.) The point $(3, \frac{5}{2})$ is in Quadrant I.
英語のヒント
ⓔ $x = 3$ なので、点はy軸の右側にある。 $y = \frac{5}{2}$ なので、点はx軸の上側にある。 $\frac{5}{2}$ を帯分数や小数で表すと役立つことがある。点 $(3, \frac{5}{2})$ は第I象限にある。

Figure 4.3図 4.3

Try It (2)確認問題（2題）

How do the signs affect the location of the points? You may have noticed some patterns as you graphed the points in the previous example.

英語のヒント

符号は点の位置にどう影響するだろうか。前の例題で点をとったとき、何らかの規則性に気付いたかもしれない。

For the point in Figure 4.3 in Quadrant IV, what do you notice about the signs of the coordinates? What about the signs of the coordinates of points in the third quadrant? The second quadrant? The first quadrant?

英語のヒント

図4.3の第IV象限の点では、座標の符号について何に気付くか。第III象限の点の座標の符号はどうか。第II象限ではどうか。第I象限ではどうか。

Can you tell just by looking at the coordinates in which quadrant the point

(−2, 5)

is located? In which quadrant is

(2, −5)

located?

英語のヒント

座標を見るだけで、点

(−2, 5)

がどの象限にあるか分かるだろうか。

(2, −5)

はどの象限にあるか。

What if one coordinate is zero as shown in Figure 4.4? Where is the point

(0, 4)

located? Where is the point

(−2, 0)

located?

英語のヒント

図4.4のように、一方の座標が0ならどうだろうか。点

(0, 4)

はどこにあるか。点

(−2, 0)

はどこにあるか。

xy座標平面のグラフ。x軸とy軸は、それぞれ− 6から6まである。点(0, 4)、(− 2, 0)がとられ、それぞれラベルが付いている。 — Figure 4.4図 4.4

The point

(0, 4)

is on the y-axis and the point

(−2, 0)

is on the x-axis.

英語のヒント

点

(0, 4)

はy軸上にあり、点

(−2, 0)

はx軸上にある。

Example 4.2例題 4.2

Plot each point:

英語のヒント

それぞれの点を取る。

ⓐ

(0, 5)

ⓑ

(4, 0)

ⓒ

(−3, 0)

ⓓ

(0, 0)

ⓔ

(0, −1)

Solution解答

ⓐ Since $x = 0$ , the point whose coordinates are $(0, 5)$ is on the y-axis.
英語のヒント
ⓐ $x = 0$ なので、座標が $(0, 5)$ の点はy軸上にある。
ⓑ Since $y = 0$ , the point whose coordinates are $(4, 0)$ is on the x-axis.
英語のヒント
ⓑ $y = 0$ なので、座標が $(4, 0)$ の点はx軸上にある。
ⓒ Since $y = 0$ , the point whose coordinates are $(−3, 0)$ is on the x-axis.
英語のヒント
ⓒ $y = 0$ なので、座標が $(−3, 0)$ の点はx軸上にある。
ⓓ Since $x = 0$ and $y = 0$ , the point whose coordinates are $(0, 0)$ is the origin.
英語のヒント
ⓓ $x = 0$ かつ $y = 0$ なので、座標が $(0, 0)$ の点は原点である。
ⓔ Since $x = 0$ , the point whose coordinates are $(0, −1)$ is on the y-axis.
英語のヒント
ⓔ $x = 0$ なので、座標が $(0, −1)$ の点はy軸上にある。

Try It (2)確認問題（2題）

In algebra, being able to identify the coordinates of a point shown on a graph is just as important as being able to plot points. To identify the x-coordinate of a point on a graph, read the number on the x-axis directly above or below the point. To identify the y-coordinate of a point, read the number on the y-axis directly to the left or right of the point. Remember, when you write the ordered pair use the correct order,

(x, y)

英語のヒント

代数では、グラフに示された点の座標を読み取れることは、点をとれることと同じくらい大切である。グラフ上の点のx座標を読み取るには、その点の真上または真下にあるx軸の数を読む。y座標を読み取るには、その点の真左または真右にあるy軸の数を読む。順序対を書くときは、

(x, y)

という正しい順番を使うことを忘れないようにする。

Example 4.3例題 4.3

Name the ordered pair of each point shown in the rectangular coordinate system.

英語のヒント

直交座標系に示された各点の順序対を答える。

xy座標平面のグラフ。x軸とy軸は、それぞれ− 6から6まである。点(4, 0)、(− 2, 0)、(0, 0)、(0, 2)、(0, − 3)がとられ、順にA、B、C、D、Eとラベルが付いている。

Solution解答

Point A is above

−3

on the x-axis, so the x-coordinate of the point is

−3

英語のヒント

点Aはx軸上の

−3

の上にあるので、x座標は

−3

である。

The point is to the left of 3 on the y-axis, so the y-coordinate of the point is 3.
英語のヒント
この点はy軸上の3の左にあるので、y座標は3である。
The coordinates of the point are $(−3, 3)$ .
英語のヒント
点の座標は $(−3, 3)$ である。

Point B is below

−1

on the x-axis, so the x-coordinate of the point is

−1

英語のヒント

点Bはx軸上の

−1

の下にあるので、x座標は

−1

である。

The point is to the left of $−3$ on the y-axis, so the y-coordinate of the point is $−3$ .
英語のヒント
この点はy軸上の $−3$ の左にあるので、y座標は $−3$ である。
The coordinates of the point are $(−1, −3)$ .
英語のヒント
点の座標は $(−1, −3)$ である。

Point C is above 2 on the x-axis, so the x-coordinate of the point is 2.

英語のヒント

点Cはx軸上の2の上にあるので、x座標は2である。

The point is to the right of 4 on the y-axis, so the y-coordinate of the point is 4.
英語のヒント
この点はy軸上の4の右にあるので、y座標は4である。
The coordinates of the point are $(2, 4)$ .
英語のヒント
点の座標は $(2, 4)$ である。

Point D is below 4 on the x-axis, so the x-coordinate of the point is 4.

英語のヒント

点Dはx軸上の4の下にあるので、x座標は4である。

The point is to the right of $−4$ on the y-axis, so the y-coordinate of the point is $−4 .$
英語のヒント
この点はy軸上の $−4$ の右にあるので、y座標は $−4$ である。
The coordinates of the point are $(4, −4)$ .
英語のヒント
点の座標は $(4, −4)$ である。

Point E is on the y-axis at

y = −2

. The coordinates of point E are

(0, −2) .

英語のヒント

点Eはy軸上の

y = −2

の位置にある。座標は

(0, −2)

である。

Point F is on the x-axis at

x = 3

. The coordinates of point F are

(3, 0) .

英語のヒント

点Fはx軸上の

x = 3

の位置にある。座標は

(3, 0)

である。

Try It (2)確認問題（2題）

第4章グラフ

4.1 Use the Rectangular Coordinate System4.1 直交座標系を使う

Learning Objectives学習目標

Plot Points on a Rectangular Coordinate System直交座標平面に点を取る

Solution解答

Solution解答

Solution解答

4.1 Use the Rectangular Coordinate System4.1　直交座標系を使う