第4章グラフ

Find Solutions to a Linear Equation一次方程式の解を求める

Example 4.8例題 4.8

Find three solutions to the equation $y=\mathrm{-3}x+2$.

英語のヒント

方程式$y=\mathrm{-3}x+2$の解を3つ求める。

Solution解答

We can substitute any value we want for $x$ or any value for $y$. Since the equation is in y-form, it will be easier to substitute in values of $x$. Let’s pick $x=0$, $x=1$, and $x=\mathrm{-1}$.

英語のヒント

$x$や$y$には好きな値を代入できる。この方程式はyについて解かれているので、$x$の値を代入するほうが簡単である。$x=0$、$x=1$、$x=\mathrm{-1}$を選ぼう。

Substitute the value into the equation. その値を方程式に代入する。
Simplify. 簡単にする。
Simplify. 簡単にする。
Write the ordered pair. 順序対を書く。			(0, 2)	(1, −1)	(−1, 5)
Check. 確かめる。
$y=\mathrm{-3}x+2$	$y=\mathrm{-3}x+2$	$y=\mathrm{-3}x+2$
$2\stackrel{?}{=}\mathrm{-3}\cdot 0+2$	$\mathrm{-1}\stackrel{?}{=}\mathrm{-3}\cdot 1+2$	$5\stackrel{?}{=}\mathrm{-3}\left(\mathrm{-1}\right)+2$
$2\stackrel{?}{=}0+2$	$\mathrm{-1}\stackrel{?}{=}\mathrm{-3}+2$	$5\stackrel{?}{=}3+2$
$2=2✓$	$\mathrm{-1}=\mathrm{-1}✓$	$5=5✓$

So, $\left(0,2\right)$, $\left(1,\mathrm{-1}\right)$ and $\left(\mathrm{-1},5\right)$ are all solutions to $y=\mathrm{-3}x+2$. We show them in Table 4.9.

英語のヒント

したがって、$\left(0,2\right)$、$\left(1,\mathrm{-1}\right)$、$\left(\mathrm{-1},5\right)$は、すべて$y=\mathrm{-3}x+2$の解である。これらを表4.9に示す。

Table 4.9表 4.9

$y=\mathrm{-3}x+2$
$x$	$y$	$(x,y)$
0	2	$\left(0,2\right)$
1	$\mathrm{-1}$	$\left(1,\mathrm{-1}\right)$
$\mathrm{-1}$	5	$\left(\mathrm{-1},5\right)$

Example 4.9例題 4.9

Find three solutions to the equation $3x+2y=6$.

英語のヒント

方程式$3x+2y=6$の解を3つ求める。

Solution解答

We can substitute any value we want for $x$ or any value for $y$. Since the equation is in standard form, let’s pick first $x=0$, then $y=0$, and then find a third point.

英語のヒント

$x$や$y$には好きな値を代入できる。この方程式は標準形なので、最初に$x=0$、次に$y=0$を選び、その後3つ目の点を求めよう。

Substitute the value into the equation. その値を方程式に代入する。
Simplify. 簡単にする。
Solve. 解く。
Write the ordered pair. 順序対を書く。			(0, 3)	(2, 0)	$(1,\frac{3}{2})$

Check. 確かめる。
$3x+2y=6$	$3x+2y=6$	$3x+2y=6$
$3\cdot 0+2\cdot 3\stackrel{?}{=}6$	$3\cdot 2+2\cdot 0\stackrel{?}{=}6$	$3\cdot 1+2\cdot \frac{3}{2}\stackrel{?}{=}6$
$0+6\stackrel{?}{=}6$	$6+0\stackrel{?}{=}6$	$3+3\stackrel{?}{=}6$
$6=6✓$	$6=6✓$	$6=6✓$

So $\left(0,3\right)$, $\left(2,0\right)$, and $\left(1,\frac{3}{2}\right)$ are all solutions to the equation $3x+2y=6$. We can list these three solutions in Table 4.10.

英語のヒント

したがって、$\left(0,3\right)$、$\left(2,0\right)$、$\left(1,\frac{3}{2}\right)$はすべて方程式$3x+2y=6$の解である。この3つの解を表4.10にまとめられる。

Table 4.10表 4.10

$3x+2y=6$
$x$	$y$	$\left(x,y\right)$
0	3	$\left(0,3\right)$
2	0	$\left(2,0\right)$
1	$\frac{3}{2}$	$\left(1,\frac{3}{2}\right)$

Key Concepts重要な概念

• Sign Patterns of the Quadrants
  $\begin{array}{cccccccccc}\text{Quadrant I}\hfill & & & \text{Quadrant II}\hfill & & & \text{Quadrant III}\hfill & & & \text{Quadrant IV}\hfill \\ (x,y)\hfill & & & (x,y)\hfill & & & (x,y)\hfill & & & (x,y)\hfill \\ (+,+)\hfill & & & (\text{−},+)\hfill & & & (\text{−},\text{−})\hfill & & & (+,\text{−})\hfill \end{array}$

  英語のヒント

  象限ごとの符号の規則性　$\begin{array}{cccccccccc}\text{第I象限}\hfill & & & \text{第II象限}\hfill & & & \text{第III象限}\hfill & & & \text{第IV象限}\hfill \\ (x,y)\hfill & & & (x,y)\hfill & & & (x,y)\hfill & & & (x,y)\hfill \\ (+,+)\hfill & & & (\text{−},+)\hfill & & & (\text{−},\text{−})\hfill & & & (+,\text{−})\hfill \end{array}$
• Points on the Axes
  

  英語のヒント

  座標軸上の点
  • On the x-axis, $y=0$. Points with a y-coordinate equal to 0 are on the x-axis, and have coordinates $(a,0)$.

    英語のヒント

    x軸上では$y=0$。y座標が0の点はx軸上にあり、座標は$(a,0)$である。
  • On the y-axis, $x=0$. Points with an x-coordinate equal to 0 are on the y-axis, and have coordinates $(0,b).$

    英語のヒント

    y軸上では$x=0$。x座標が0の点はy軸上にあり、座標は$(0,b)$である。
• Solution of a Linear Equation
  

  英語のヒント

  一次方程式の解
  • An ordered pair $\left(x,y\right)$ is a solution of the linear equation $Ax+By=C$, if the equation is a true statement when the x- and y- values of the ordered pair are substituted into the equation.

    英語のヒント

    順序対$\left(x,y\right)$のxとyの値を方程式$Ax+By=C$に代入したとき、正しい等式になるなら、その順序対はこの一次方程式の解である。

Practice Makes Perfect練習問題

Exercises 1–4練習問題 1–4

Plot Points in a Rectangular Coordinate System

英語のヒント

直交座標平面に点を取る

In the following exercises, plot each point in a rectangular coordinate system and identify the quadrant in which the point is located.

英語のヒント

次の練習問題では、直交座標平面にそれぞれの点を取り、どの象限にあるかを答える。

Exercise 1問題 1

1. ⓐ $\left(\mathrm{-4},2\right)$
2. ⓑ $\left(\mathrm{-1},\mathrm{-2}\right)$
3. ⓒ $\left(3,\mathrm{-5}\right)$
4. ⓓ $\left(\mathrm{-3},5\right)$
   ⓔ $\left(\frac{5}{3},2\right)$

Solution解き方

Exercise 2問題 2

1. ⓐ $\left(\mathrm{-2},\mathrm{-3}\right)$
2. ⓑ $\left(3,\mathrm{-3}\right)$
3. ⓒ $\left(\mathrm{-4},1\right)$
4. ⓓ $\left(4,\mathrm{-1}\right)$
5. ⓔ $\left(\frac{3}{2},1\right)$

Exercise 3問題 3

1. ⓐ $\left(3,\mathrm{-1}\right)$
2. ⓑ $\left(\mathrm{-3},1\right)$
3. ⓒ $\left(\mathrm{-2},2\right)$
4. ⓓ $\left(\mathrm{-4},\mathrm{-3}\right)$
5. ⓔ $\left(1,\frac{14}{5}\right)$

Solution解き方

Exercise 4問題 4

1. ⓐ $\left(\mathrm{-1},1\right)$
2. ⓑ $\left(\mathrm{-2},\mathrm{-1}\right)$
3. ⓒ $\left(2,1\right)$
4. ⓓ $\left(1,\mathrm{-4}\right)$
5. ⓔ $\left(3,\frac{7}{2}\right)$

Exercises 5–8練習問題 5–8

In the following exercises, plot each point in a rectangular coordinate system.

英語のヒント

次の練習問題では、直交座標平面にそれぞれの点を取る。

Exercise 5問題 5

1. ⓐ $\left(\mathrm{-2},0\right)$
2. ⓑ $\left(\mathrm{-3},0\right)$
3. ⓒ $\left(0,0\right)$
4. ⓓ $\left(0,4\right)$
5. ⓔ $\left(0,2\right)$

Solution解き方

Exercise 6問題 6

1. ⓐ $\left(0,1\right)$
2. ⓑ $\left(0,\mathrm{-4}\right)$
3. ⓒ $\left(\mathrm{-1},0\right)$
4. ⓓ $\left(0,0\right)$
5. ⓔ $\left(5,0\right)$

Exercise 7問題 7

1. ⓐ $\left(0,0\right)$
2. ⓑ $\left(0,\mathrm{-3}\right)$
3. ⓒ $\left(\mathrm{-4},0\right)$
4. ⓓ $\left(1,0\right)$
5. ⓔ $\left(0,\mathrm{-2}\right)$

Solution解き方

Exercise 8問題 8

1. ⓐ $\left(\mathrm{-3},0\right)$
2. ⓑ $\left(0,5\right)$
3. ⓒ $\left(0,\mathrm{-2}\right)$
4. ⓓ $\left(2,0\right)$
5. ⓔ $\left(0,0\right)$

Exercises 9–12練習問題 9–12

In the following exercises, name the ordered pair of each point shown in the rectangular coordinate system.

英語のヒント

次の練習問題では、直交座標平面に示された各点の順序対を答える。

Exercise 9問題 9

Solution解き方

A: $\left(\mathrm{-4},1\right)$ B: $\left(\mathrm{-3},\mathrm{-4}\right)$ C: $\left(1,\mathrm{-3}\right)$ D: $\left(4,3\right)$

A：$\left(\mathrm{-4},1\right)$　B：$\left(\mathrm{-3},\mathrm{-4}\right)$　C：$\left(1,\mathrm{-3}\right)$　D：$\left(4,3\right)$

Exercise 10問題 10

Exercise 11問題 11

Solution解き方

A: $\left(0,\mathrm{-2}\right)$ B: $\left(\mathrm{-2},0\right)$ C: $\left(0,5\right)$ D: $\left(5,0\right)$

A：$\left(0,\mathrm{-2}\right)$　B：$\left(\mathrm{-2},0\right)$　C：$\left(0,5\right)$　D：$\left(5,0\right)$

Exercise 12問題 12