プリンキピア

第4章グラフ

4.3 Graph with Intercepts4.3　切片を使ってグラフを描く

Learning Objectives学習目標

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:
英語のヒント
この節を終えると、次のことができるようになる。
  • Identify the x - and y - intercepts on a graph
    英語のヒント
    グラフのx切片とy切片を特定する
  • Find the x - and y - intercepts from an equation of a line
    英語のヒント
    直線の方程式からx切片とy切片を求める
  • Graph a line using the intercepts
    英語のヒント
    切片を使って直線を描く
Before You Begin (1)準備問題（1題）

Identify the x- and y- Intercepts on a Graphグラフのx切片とy切片を読み取る

Every linear equation can be represented by a unique line that shows all the solutions of the equation. We have seen that when graphing a line by plotting points, you can use any three solutions to graph. This means that two people graphing the line might use different sets of three points.
英語のヒント
どの一次方程式も、すべての解を示す1本の直線で表せる。点をとって直線のグラフを描くときは、解をどれでも3つ使えることを見てきた。つまり、2人が同じ直線のグラフを描くとき、別々の3点を使うことがあり得る。
At first glance, their two lines might not appear to be the same, since they would have different points labeled. But if all the work was done correctly, the lines should be exactly the same. One way to recognize that they are indeed the same line is to look at where the line crosses the x- axis and the y- axis. These points are called the intercepts of the line.
英語のヒント
違う点にラベルが付いているため、ひと目見ただけでは同じ直線に見えないかもしれない。しかし、計算をすべて正しく行っていれば、直線は完全に同じになるはずである。同じ直線だと確かめる方法の1つは、x軸とy軸をどこで横切るかを見ることである。これらの点を直線の切片という。
Let’s look at the graphs of the lines in Figure 4.18.
英語のヒント
図4.18の直線のグラフを見てみよう。
4つの図に、それぞれ異なる直線がxy座標平面上にある。x軸とy軸は、それぞれ−7から7まである。図aの直線はx軸と(3, 0)で、y軸と(0, 6)で交わり、2x＋y＝6とラベルが付いている。図bの直線はx軸と(4, 0)で、y軸と(0, −3)で交わり、3x−4y＝12とラベルが付いている。図cの直線はx軸と(5, 0)で、y軸と(0, −5)で交わり、x−y＝5とラベルが付いている。図dの直線はx軸およびy軸と(0, 0)で交わり、y＝−2xとラベルが付いている。
Figure 4.18図 4.18
Examples of graphs crossing the x-axis.
英語のヒント
x軸を横切るグラフの例。
First, notice where each of these lines crosses the x-axis. See Figure 4.18.
英語のヒント
まず、それぞれの直線がx軸をどこで横切るかに注目する。図4.18を参照する。
Figure
図
The line crosses the x- axis at:
直線がx軸と交わる点：
Ordered pair of this point
この点の順序対
Figure (a)
図(a)
3
(3,0)
Figure (b)
図(b)
4
(4,0)
Figure (c)
図(c)
5
(5,0)
Figure (d)
図(d)
0
(0,0)
Table 4.25表 4.25
Do you see a pattern?
英語のヒント
規則が見えるだろうか。
For each row, the y- coordinate of the point where the line crosses the x- axis is zero. The point where the line crosses the x- axis has the form (a,0) and is called the x- intercept of a line. The x- intercept occurs when y is zero.
英語のヒント
どの行でも、直線がx軸と交わる点のy座標は0である。この点は(a,0)の形をしており、直線のx切片という。x切片はyが0のところにある。
Now, let’s look at the points where these lines cross the y- axis. See Table 4.26.
英語のヒント
次に、これらの直線がy軸と交わる点を見てみよう。表4.26を参照する。
Figure
図
The line crosses the y-axis at:
直線がy軸と交わる点：
Ordered pair for this point
この点の順序対
Figure (a)
図(a)
6
(0,6)
Figure (b)
図(b)
−3
(0,−3)
Figure (c)
図(c)
−5
(0,−5)
Figure (d)
図(d)
0
(0,0)
Table 4.26表 4.26
What is the pattern here?
英語のヒント
ここには、どのような規則性があるか。
In each row, the x- coordinate of the point where the line crosses the y- axis is zero. The point where the line crosses the y- axis has the form (0,b) and is called the y- intercept of the line. The y- intercept occurs when x is zero.
英語のヒント
どの行でも、直線がy軸と交わる点のx座標は0である。この点は(0,b)の形をしており、直線のy切片という。y切片はxが0のところにある。
Example 4.19例題 4.19
Find the x- and y- intercepts on each graph.
英語のヒント
各グラフのx切片とy切片を求める。
3つの図に、それぞれ異なる直線がxy座標平面上にある。x軸とy軸は、それぞれ−7から7まである。図aの直線は(−6, 5)、(−4, 4)、(−2, 3)、(0, 2)、(2, 1)、(4, 0)、(6, −1)を通る。図bの直線は(0, −6)、(1, −3)、(2, 0)、(3, 3)、(4, 6)を通る。図cの直線は(−6, 1)、(−5, 0)、(−4, −1)、(−3, −2)、(−2, −3)、(−1, −4)、(0, −5)、(1, −6)を通る。

Solution解答

  1. ⓐ The graph crosses the x- axis at the point (4,0). The x- intercept is (4,0).
    The graph crosses the y- axis at the point (0,2). The y- intercept is (0,2).

    英語のヒント
    ⓐ グラフはx軸と点(4,0)で交わる。x切片は(4,0)である。y軸とは点(0,2)で交わり、y切片は(0,2)である。
  2. ⓑ The graph crosses the x- axis at the point (2,0). The x- intercept is (2,0)
    The graph crosses the y- axis at the point (0,−6). The y- intercept is (0,−6).

    英語のヒント
    ⓑ グラフはx軸と点(2,0)で交わる。x切片は(2,0)である。y軸とは点(0,−6)で交わり、y切片は(0,−6)である。
  3. ⓒ The graph crosses the x- axis at the point (−5,0). The x- intercept is (−5,0).
    The graph crosses the y- axis at the point (0,−5). The y- intercept is (0,−5).
    英語のヒント
    ⓒ グラフはx軸と点(−5,0)で交わる。x切片は(−5,0)である。y軸とは点(0,−5)で交わり、y切片は(0,−5)である。
Try It (2)確認問題（2題）

Find the x- and y- Intercepts from an Equation of a Line直線の方程式からx切片とy切片を求める

Recognizing that the x- intercept occurs when y is zero and that the y- intercept occurs when x is zero, gives us a method to find the intercepts of a line from its equation. To find the x- intercept, let y=0 and solve for x. To find the y- intercept, let x=0 and solve for y.
英語のヒント
x切片はyが0のとき、y切片はxが0のときに現れる。このことから、方程式を使って直線の切片を求める方法が得られる。x切片を求めるには、y=0としてxについて解く。y切片を求めるには、x=0としてyについて解く。
Example 4.20例題 4.20
Find the intercepts of 2x+y=6.
英語のヒント
2x+y=6の切片を求める。

Solution解答

We will let y=0 to find the x- intercept, and let x=0 to find the y- intercept. We will fill in the table, which reminds us of what we need to find.
英語のヒント
x切片を求めるときはy=0、y切片を求めるときはx=0とする。何を求める必要があるかを示す表を埋めていく。
4行2列の表。第1行は表題で、方程式2x＋y＝6がある。第2行は列見出しで、第1列は「x」、第2列は「y」である。第3行には「x切片」というラベルがあり、第1列は空欄、第2列は0。第4行には「y切片」というラベルがあり、第1列は0、第2列は空欄である。
To find the x- intercept, let y=0.
英語のヒント
x切片を求めるため、y=0とする。
.
Let y = 0.
y＝0とする。
.
Simplify.
簡単にする。
.
.
The x-intercept is
x切片は
(3, 0)
To find the y-intercept, let x = 0.
y切片を求めるため、x＝0とする。
.
Let x = 0.
x＝0とおく。
.
Simplify.
簡単にする。
.
.
The y-intercept is
y切片は
(0, 6)
The intercepts are the points (3,0) and (0,6) as shown in Table 4.27.
英語のヒント
切片は、表4.27に示す点(3,0)と(0,6)である。
2x+y=6
x
y
3
0
0
6
Table 4.27表 4.27
Try It (2)確認問題（2題）
Example 4.21例題 4.21
Find the intercepts of 4x–3y=12.
英語のヒント
4x–3y=12の切片を求める。
Solution解答

Solution解答

To find the x-intercept, let y = 0.
x切片を求めるには、y＝0とおく。
.
Let y = 0.
y＝0とする。
.
Simplify.
簡単にする。
.
.
.
The x-intercept is
x切片は
(3, 0)
To find the y-intercept, let x = 0.
y切片を求めるため、x＝0とする。
.
Let x = 0.
x＝0とおく。
.
Simplify.
簡単にする。
.
.
.
The y-intercept is
y切片は
(0, −4)
The intercepts are the points (3, 0) and (0, −4) as shown in the following table.
英語のヒント
切片は、次の表に示す点(3, 0)と(0, −4)である。
4x−3y=12
x
y
3
0
0
−4
Try It (2)確認問題（2題）