第4章グラフ

Graph a Line Given a Point and the Slope1点と傾きが与えられた直線を描く

Up to now, in this chapter, we have graphed lines by plotting points, by using intercepts, and by recognizing horizontal and vertical lines.

英語のヒント

この章ではこれまで、点をとる方法、切片を使う方法、水平な直線と垂直な直線を見分ける方法によって、直線のグラフを描いてきた。

One other method we can use to graph lines is called the point–slope method. We will use this method when we know one point and the slope of the line. We will start by plotting the point and then use the definition of slope to draw the graph of the line.

英語のヒント

直線のグラフを描くもう1つの方法を、点と傾きを使う方法という。直線上の1点と傾きがわかっているときに、この方法を使う。まず点をとり、次に傾きの定義を使って直線のグラフを描く。

Example 4.35例題 4.35

How To Graph a Line Given a Point and The Slope1点と傾きが与えられた直線のグラフを描く方法

Graph the line passing through the point

(1, −1)

whose slope is

m = \frac{3}{4}

英語のヒント

点

(1, −1)

を通り、傾きが

m = \frac{3}{4}

である直線のグラフを描け。

Solution解答

3列4行の表。第1行には「ステップ1。与えられた点をとる。(1, −1)をとる」とある。右にはxy座標平面のグラフがある。x軸は−1から7まで、y軸は−3から4まであり、点(0, −1)がとられている。

第2行には「ステップ2。傾きの公式m＝縦の変化量÷横の変化量を使って、縦の変化量と横の変化量を特定する」とある。縦の変化量と横の変化量は3と4なので、m＝3÷4である。

第3行には「ステップ3。与えられた点から始め、縦の変化量と横の変化量を数えて、2つ目の点に印を付ける」とある。(1, −1)から始め、縦と横の変化量を数える。上に3目盛り、右に4目盛り進む。右のグラフには、さらに2点がとられている。(1, 2)は(1, −1)から上に3目盛り、(5, 2)は(1, −1)から上に3目盛り、右に4目盛りの点である。

第4行には「ステップ4。点を直線で結ぶ」とある。右のグラフでは、点(1, −1)と(5, 2)を通る直線が描かれている。この直線は、3点(1, −1)、(1, 2)、(5, 2)が作る直角三角形の斜辺でもある。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 4.36例題 4.36

Graph the line with y-intercept 2 whose slope is

m = - \frac{2}{3}

英語のヒント

y切片が2で、傾きが

m = - \frac{2}{3}

である直線のグラフを描け。

Solution解答

Plot the given point, the y-intercept,

(0, 2)

英語のヒント

与えられた点であるy切片

(0, 2)

をとる。

xy座標平面のグラフ。x軸とy軸は、それぞれ− 5から5まである。点(0, 2)がとられている。

Table 4.39表 4.39
Identify the rise and the run. 縦と横の変化量を求める。	$m = - \frac{2}{3}$
	$\frac{rise}{run} = \frac{−2}{3}$ $\frac{縦の変化量}{横の変化量} = \frac{−2}{3}$
	$rise = −2$ $縦の変化量 = −2$
	$run = 3$ $横の変化量 = 3$

Count the rise and the run. Mark the second point.

英語のヒント

縦の変化量と横の変化量を数える。2つ目の点に印を付ける。

xy座標平面のグラフ。x軸とy軸は、それぞれ−5から5まである。点(0, 2)、(0, 0)、(3, 0)がとられ、ラベルが付いている。(0, 2)から(0, 0)への線には「下に2」、(0, 0)から(3, 0)への線には「右に3」とラベルが付いている。

Connect the two points with a line.

英語のヒント

2点を直線で結ぶ。

xy座標平面のグラフ。x軸とy軸は、それぞれ−5から5まである。直線は、印を付けた点(0, 2)と(3, 0)を通る。

You can check your work by finding a third point. Since the slope is

m = - \frac{2}{3}

, it can be written as

m = \frac{2}{−3}

. Go back to

(0, 2)

and count out the rise, 2, and the run,

−3

英語のヒント

3つ目の点を求めて、作図を確認できる。傾きは

m = - \frac{2}{3}

なので、

m = \frac{2}{−3}

と書ける。

(0, 2)

に戻り、縦の変化量2、横の変化量

−3

を数える。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 4.37例題 4.37

Graph the line passing through the point

(−1, −3)

whose slope is

m = 4 .

英語のヒント

点

(−1, −3)

を通り、傾きが

m = 4

である直線のグラフを描け。

Solution解答

Plot the given point.

英語のヒント

与えられた点を取る。

xy座標平面のグラフ。x軸とy軸は、それぞれ− 5から5まである。点(− 1, − 3)がとられ、ラベルが付いている。

Table 4.40表 4.40
Identify the rise and the run. 縦と横の変化量を求める。	$m = 4$
Write 4 as a fraction. 4を分数で書く。	$\frac{rise}{run} = \frac{4}{1}$ $\frac{縦の変化量}{横の変化量} = \frac{4}{1}$
	$rise = 4, run = 1$ $縦の変化量 = 4, 横の変化量 = 1$

Count the rise and run and mark the second point.

英語のヒント

縦の変化量と横の変化量を数え、2つ目の点に印を付ける。

Connect the two points with a line.

英語のヒント

2点を直線で結ぶ。

xy座標平面のグラフ。x軸とy軸は、それぞれ−5から5まである。直線は、印を付けた点(−1, −3)と(1, 0)を通る。

You can check your work by finding a third point. Since the slope is

m = 4

, it can be written as

m = \frac{−4}{−1}

. Go back to

(−1, −3)

and count out the rise,

−4

, and the run,

−1

英語のヒント

3つ目の点を求めて、作図を確認できる。傾きは

m = 4

なので、

m = \frac{−4}{−1}

と書ける。

(−1, −3)

に戻り、縦の変化量

−4

、横の変化量

−1

を数える。

Try It (2)確認問題（2題）

Solve Slope Applications傾きの応用問題を解く

At the beginning of this section, we said there are many applications of slope in the real world. Let’s look at a few now.

英語のヒント

この節の初めに、傾きには現実の世界で多くの応用があると述べた。いくつか見てみよう。

Example 4.38例題 4.38

The ‘pitch’ of a building’s roof is the slope of the roof. Knowing the pitch is important in climates where there is heavy snowfall. If the roof is too flat, the weight of the snow may cause it to collapse. What is the slope of the roof shown?

英語のヒント

建物の屋根の勾配とは、屋根の傾きである。雪が多く降る地域では、勾配を知ることが大切である。屋根が平らすぎると、雪の重みで崩れるおそれがある。図の屋根の傾きはいくつか。

傾斜した屋根の家。建物の片側の屋根には「屋根の勾配」とラベルが付いている。屋根の垂直方向の長さを測る、両端に矢印のある線分には「縦の変化量＝9フィート」とある。屋根の水平方向の長さを測る、両端に矢印のある線分には「横の変化量＝18フィート」とある。

Solution解答

Table 4.41表 4.41
Use the slope formula. 傾きの公式を使う。	$m = \frac{rise}{run}$ $m = \frac{縦の変化量}{横の変化量}$
Substitute the values for rise and run. 縦と横の変化量の値を代入する。	$m = \frac{9}{18}$
Simplify. 簡単にする。	$m = \frac{1}{2}$
The slope of the roof is $\frac{1}{2}$ . 屋根の傾きは $\frac{1}{2}$ である。
	The roof rises 1 foot for every 2 feet of horizontal run. 屋根は、水平方向に2フィート進むごとに1フィート上がる。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 4.39例題 4.39

Have you ever thought about the sewage pipes going from your house to the street? They must slope down

\frac{1}{4}

inch per foot in order to drain properly. What is the required slope?

英語のヒント

家から道路へ延びる下水管について考えたことがあるだろうか。適切に排水するためには、1フィート進むごとに

\frac{1}{4}

インチ下がる勾配が必要である。必要な傾きはいくつか。

Solution解答

Use the slope formula. 傾きの公式を使う。	$\begin{matrix} m = \frac{rise}{run} \\ m = \frac{- \frac{1}{4} inch}{1 foot} \\ m = \frac{- \frac{1}{4} inch}{12 inches} \end{matrix}$ $\begin{matrix} m = \frac{縦の変化量}{横の変化量} \\ m = \frac{- \frac{1}{4} インチ}{1フィート} \\ m = \frac{- \frac{1}{4} インチ}{12インチ} \end{matrix}$
Simplify. 簡単にする。	$m = - \frac{1}{48}$
	The slope of the pipe is $- \frac{1}{48}$ . 管の傾きは $- \frac{1}{48}$ である。

The pipe drops 1 inch for every 48 inches of horizontal run.

英語のヒント

管は、水平方向に48インチ進むごとに1インチ下がる。

Try It (2)確認問題（2題）

Additional Resources追加教材

Key Concepts重要な概念

Find the Slope of a Line from its Graph using $m = \frac{rise}{run}$
英語のヒント
$m = \frac{縦の変化量}{横の変化量}$ を使ってグラフから直線の傾きを求める
1. Locate two points on the line whose coordinates are integers.
  英語のヒント
  直線上で、座標が整数の2点を選ぶ。
2. Starting with the point on the left, sketch a right triangle, with the hypotenuse going from the first point to the second point.
  英語のヒント
  左の点から始め、斜辺が最初の点から2つ目の点へ延びる直角三角形を描く。
3. Count the rise and the run on the legs of the triangle.
  英語のヒント
  三角形の直角を挟む辺に沿って、縦と横の変化量を数える。
4. Take the ratio of rise to run to find the slope.
  英語のヒント
  縦の変化量と横の変化量の比をとって傾きを求める。
Graph a Line Given a Point and the Slope
英語のヒント
1点と傾きが与えられた直線を描く
1. Plot the given point.
  英語のヒント
  与えられた点を取る。
2. Use the slope formula $m = \frac{rise}{run}$ to identify the rise and the run.
  英語のヒント
  傾きの公式 $m = \frac{縦の変化量}{横の変化量}$ を使って、縦の変化量と横の変化量を特定する。
3. Starting at the given point, count out the rise and run to mark the second point.
  英語のヒント
  与えられた点から始め、縦と横の変化量を数えて2つ目の点を記す。
4. Connect the points with a line.
  英語のヒント
  点を直線で結ぶ。
Slope of a Horizontal Line
英語のヒント
水平な直線の傾き
- The slope of a horizontal line, $y = b$ , is 0.
  英語のヒント
  水平な直線 $y = b$ の傾きは0である。
Slope of a vertical line
英語のヒント
垂直な直線の傾き
- The slope of a vertical line, $x = a$ , is undefined
  英語のヒント
  垂直な直線 $x = a$ の傾きは定義されない。