第1章基礎

Locate Fractions on the Number Line数直線上に分数を示す

The last time we looked at the number line, it only had positive and negative integers on it. We now want to include fractions and decimals on it.

英語のヒント

前に見た数直線には、正負の整数しかなかった。今度は、分数や小数も加えよう。

Additional Resources追加教材

Let’s start with fractions and locate

\frac{1}{5}, - \frac{4}{5}, 3, \frac{7}{4}, - \frac{9}{2}, −5, and \frac{8}{3}

on the number line.

英語のヒント

分数から始め、

\frac{1}{5}, - \frac{4}{5}, 3, \frac{7}{4}, - \frac{9}{2}, −5, と \frac{8}{3}

を数直線上に示そう。

We’ll start with the whole numbers

3

and

−5 .

because they are the easiest to plot. See Figure 1.16.

英語のヒント

最も示しやすい非負整数

3

と

−5

から始める。図1.16を見よう。

The proper fractions listed are

\frac{1}{5} and - \frac{4}{5} .

We know the proper fraction

\frac{1}{5}

has value less than one and so would be located between

0 and 1.

The denominator is 5, so we divide the unit from 0 to 1 into 5 equal parts

\frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5} .

We plot

\frac{1}{5} .

See Figure 1.16.

英語のヒント

挙げられた真分数は

\frac{1}{5} と - \frac{4}{5}

である。

\frac{1}{5}

は1より小さいので、

0と1。

の間にある。分母が5なので、0から1を5等分して

\frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}

とし、

\frac{1}{5}

に点を打つ。図1.16を見よう。

Similarly,

- \frac{4}{5}

is between 0 and

−1 .

After dividing the unit into 5 equal parts we plot

- \frac{4}{5} .

See Figure 1.16.

英語のヒント

同様に、

- \frac{4}{5}

は0と

−1

の間にある。1単位を5等分して、

- \frac{4}{5}

に点を打つ。図1.16を見よう。

Finally, look at the improper fractions

\frac{7}{4}, - \frac{9}{2}, \frac{8}{3} .

These are fractions in which the numerator is greater than the denominator. Locating these points may be easier if you change each of them to a mixed number. See Figure 1.16.

英語のヒント

最後に、仮分数

\frac{7}{4}, - \frac{9}{2}, \frac{8}{3}

を見よう。これらは分子が分母より大きい分数である。帯分数に直すと、位置を見つけやすい。図1.16を見よう。

\begin{matrix} \frac{7}{4} = 1 \frac{3}{4} & - \frac{9}{2} = −4 \frac{1}{2} & \frac{8}{3} = 2 \frac{2}{3} \end{matrix}

Figure 1.16 shows the number line with all the points plotted.

英語のヒント

図1.16に、すべての点を打った数直線を示す。

−6から6までの数直線で、左から−5、−9/2、−4/5、1/5、4/5、8/3、3に印がある。−9/2は−5と−4の中央、−4/5は−1の少し右、1/5は0の少し右、4/5は1の少し左、8/3は2と3の間で3寄りにある。 — Figure 1.16図 1.16

Example 1.115例題 1.115

Locate and label the following on a number line:

4, \frac{3}{4}, - \frac{1}{4}, −3, \frac{6}{5}, - \frac{5}{2}, and \frac{7}{3} .

英語のヒント

次の数を数直線上に示し、名前を付けよ。

4, \frac{3}{4}, - \frac{1}{4}, −3, \frac{6}{5}, - \frac{5}{2}, と \frac{7}{3}

Solution解答

Locate and plot the integers,

4, −3 .

英語のヒント

整数

4, −3

の位置に点を打つ。

Locate the proper fraction

\frac{3}{4}

first. The fraction

\frac{3}{4}

is between 0 and 1. Divide the distance between 0 and 1 into four equal parts then, we plot

\frac{3}{4} .

Similarly plot

- \frac{1}{4} .

英語のヒント

まず真分数

\frac{3}{4}

の位置を考える。

\frac{3}{4}

は0と1の間にあるので、その区間を4等分し、

\frac{3}{4}

に点を打つ。同様に

- \frac{1}{4}

も示す。

Now locate the improper fractions

\frac{6}{5}, - \frac{5}{2}, \frac{7}{3} .

It is easier to plot them if we convert them to mixed numbers and then plot them as described above:

\frac{6}{5} = 1 \frac{1}{5}, - \frac{5}{2} = −2 \frac{1}{2}, \frac{7}{3} = 2 \frac{1}{3} .

英語のヒント

次に仮分数

\frac{6}{5}, - \frac{5}{2}, \frac{7}{3}

の位置を求める。帯分数に直し、先ほどと同じように点を打つと分かりやすい。

\frac{6}{5} = 1 \frac{1}{5}, - \frac{5}{2} = −2 \frac{1}{2}, \frac{7}{3} = 2 \frac{1}{3}

−6から6までの数直線で、左から−3、−5/2、−1/4、3/4、6/5、7/3、4に印がある。−5/2は−3と−2の中央、−1/4は0の少し左、3/4は1の少し左、6/5は1の少し右、7/3は2と3の間で2寄りにある。

Try It (2)確認問題（2題）

In Example 1.116, we’ll use the inequality symbols to order fractions. In previous chapters we used the number line to order numbers.

英語のヒント

例題1.116では、不等号を使って分数の大小を示す。前の章では、数直線を使って数の大小を比べた。

a < b “a is less than b” when a is to the left of b on the number line
英語のヒント
a < bは「aはbより小さい」。数直線上でaがbの左にあるときに使う。
a > b “a is greater than b” when a is to the right of b on the number line
英語のヒント
a > bは「aはbより大きい」。数直線上でaがbの右にあるときに使う。

As we move from left to right on a number line, the values increase.

英語のヒント

数直線を左から右へ進むと、値は大きくなる。

Example 1.116例題 1.116

Order each of the following pairs of numbers, using < or >. It may be helpful to refer Figure 1.17.

英語のヒント

<または>を使い、各組の数の大小を示せ。図1.17を参考にするとよい。

ⓐ

- \frac{2}{3}___−1

ⓑ

−3 \frac{1}{2}___−3

ⓒ

- \frac{3}{4}___- \frac{1}{4}

ⓓ

−2___- \frac{8}{3}

−4から4までの数直線で、左から−3と1/2、−3、−8/3、−2、−1、−3/4、−2/3、−1/4に印がある。−3と1/2は−4と−3の間、−8/3は−3と−2の間で−3寄り、−3/4、−2/3、−1/4はすべて−1と0の間にある。 — Figure 1.17図 1.17

Solution解答

Table 1.35表 1.35
ⓐ $- \frac{2}{3}$ is to the right of $−1$ on the number line. ⓐ 数直線上で、 $- \frac{2}{3}$ は $−1$ の右にある。	$\begin{matrix} - \frac{2}{3}___−1 \\ - \frac{2}{3} > −1 \end{matrix}$
ⓑ $−3 \frac{1}{2}$ is to the right of $−3$ on the number line. ⓑ 数直線上で、 $−3 \frac{1}{2}$ は $−3$ の右にある。	$\begin{matrix} −3 \frac{1}{2}___−3 \\ −3 \frac{1}{2} < −3 \end{matrix}$
ⓒ $- \frac{3}{4}$ is to the right of $- \frac{1}{4}$ on the number line. ⓒ 数直線上で、 $- \frac{3}{4}$ は $- \frac{1}{4}$ の右にある。	$\begin{matrix} - \frac{3}{4}___- \frac{1}{4} \\ - \frac{3}{4} < - \frac{1}{4} \end{matrix}$
ⓓ $−2$ is to the right of $- \frac{8}{3}$ on the number line. ⓓ 数直線上で、 $−2$ は $- \frac{8}{3}$ の右にある。	$\begin{matrix} −2___- \frac{8}{3} \\ −2 > - \frac{8}{3} \end{matrix}$

Try It (2)確認問題（2題）

Locate Decimals on the Number Line小数の位置を数直線上に示す

Since decimals are forms of fractions, locating decimals on the number line is similar to locating fractions on the number line.

英語のヒント

小数は分数の表し方の1つなので、小数の位置を数直線上に示す方法は、分数の場合と似ている。

Example 1.117例題 1.117

Locate 0.4 on the number line.

英語のヒント

数直線上に0.4を示せ。

Solution解答

A proper fraction has value less than one. The decimal number 0.4 is equivalent to

\frac{4}{10},

a proper fraction, so 0.4 is located between 0 and 1. On a number line, divide the interval between 0 and 1 into 10 equal parts. Now label the parts 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1.0. We write 0 as 0.0 and 1 and 1.0, so that the numbers are consistently in tenths. Finally, mark 0.4 on the number line. See Figure 1.18.

英語のヒント

真分数は1より小さい。0.4は真分数

\frac{4}{10}

に等しいので、0と1の間にある。数直線上の0から1を10等分し、0.1、0.2、0.3、0.4、0.5、0.6、0.7、0.8、0.9、1.0と名前を付ける。十分の一の位に表記をそろえるため、0は0.0、1は1.0と書く。最後に0.4に印を付ける。図1.18を見よう。

0.0から1までの数直線で、0.3と0.5の間の0.4だけに点がある。 — Figure 1.18図 1.18

Try It (2)確認問題（2題）

Example 1.118例題 1.118

Locate

−0.74

on the number line.

英語のヒント

数直線上に

−0.74

を示せ。

Solution解答

The decimal

−0.74

is equivalent to

- \frac{74}{100},

so it is located between 0 and

−1 .

On a number line, mark off and label the hundredths in the interval between 0 and

−1 .

See Figure 1.19.

英語のヒント

小数

−0.74

は

- \frac{74}{100}

に等しいので、0と

−1

の間にある。数直線上の0から

−1

までを百分の一の刻みで区切り、名前を付ける。図1.19を見よう。

−1.00から0.00までの数直線で、−0.8と−0.7の間の−0.74だけに点がある。 — Figure 1.19図 1.19

Try It (2)確認問題（2題）

Which is larger, 0.04 or 0.40? If you think of this as money, you know that $0.40 (forty cents) is greater than $0.04 (four cents). So,

英語のヒント

0.04と0.40は、どちらが大きいだろうか。お金なら、0.40ドル（40セント）が0.04ドル（4セント）より大きいことは分かる。したがって、

0.40 > 0.04

Again, we can use the number line to order numbers.

英語のヒント

ここでも、数直線を使って大小を比べられる。

a < b “a is less than b” when a is to the left of b on the number line
英語のヒント
a < bは「aはbより小さい」。数直線上でaがbの左にあるときに使う。
a > b “a is greater than b” when a is to the right of b on the number line
英語のヒント
a > bは「aはbより大きい」。数直線上でaがbの右にあるときに使う。

Where are 0.04 and 0.40 located on the number line? See Figure 1.20.

英語のヒント

0.04と0.40は数直線上のどこにあるだろうか。図1.20を見よう。

−0.0から1.0までの数直線で、左から0.04と0.4に印がある。0.04は0.0と0.1の間、0.4は0.3と0.5の間にある。 — Figure 1.20図 1.20

We see that 0.40 is to the right of 0.04 on the number line. This is another way to demonstrate that 0.40 > 0.04.

英語のヒント

数直線上で0.40は0.04の右にある。これも0.40 > 0.04を示す方法である。

How does 0.31 compare to 0.308? This doesn’t translate into money to make it easy to compare. But if we convert 0.31 and 0.308 into fractions, we can tell which is larger.

英語のヒント

0.31と0.308はどうだろうか。お金に置き換えて簡単に比べることはできないが、分数に直せば大小が分かる。

	0.31	0.308
Convert to fractions. 分数に直す。	$\frac{31}{100}$	$\frac{308}{1000}$
We need a common denominator to compare them. 比較するには、共通の分母が必要である。
	$\frac{310}{1000}$	$\frac{308}{1000}$

Because 310 > 308, we know that

\frac{310}{1000} > \frac{308}{1000} .

Therefore, 0.31 > 0.308.

英語のヒント

310 > 308なので、

\frac{310}{1000} > \frac{308}{1000}

である。したがって0.31 > 0.308となる。

Notice what we did in converting 0.31 to a fraction—we started with the fraction

\frac{31}{100}

and ended with the equivalent fraction

\frac{310}{1000} .

Converting

\frac{310}{1000}

back to a decimal gives 0.310. So 0.31 is equivalent to 0.310. Writing zeros at the end of a decimal does not change its value!

英語のヒント

0.31を分数に直した手順を見よう。

\frac{31}{100}

から、等しい分数

\frac{310}{1000}

を作った。

\frac{310}{1000}

を小数に戻すと0.310になる。つまり0.31と0.310は等しい。小数の末尾にゼロを書き足しても値は変わらない。

\frac{31}{100} = \frac{310}{1000} and 0.31 = 0.310

\frac{31}{100} = \frac{310}{1000} と 0.31 = 0.310

We say 0.31 and 0.310 are equivalent decimals.

英語のヒント

0.31と0.310は等しい小数という。

We use equivalent decimals when we order decimals.

英語のヒント

小数の大小を比べるときは、等しい小数を使う。

The steps we take to order decimals are summarized here.

英語のヒント

小数の大小を比べる手順をまとめる。

Example 1.119例題 1.119

Order

0.64___0.6

using

<

> .

英語のヒント

<

または

>

を使って

0.64___0.6

の大小を示せ。

Solution解答

Table 1.36表 1.36
Write the numbers one under the other, lining up the decimal points. 小数点をそろえて、2つの数を上下に書く。	$\begin{matrix} 0.64 \\ 0.6 \end{matrix}$
Add a zero to 0.6 to make it a decimal with 2 decimal places. Now they are both hundredths. 0.6の末尾にゼロを加え、小数部分を2桁にする。これで両方とも百分の一の位までになる。	$\begin{matrix} 0.64 \\ 0.60 \end{matrix}$
64 is greater than 60. 64は60より大きい。	$64 > 60$
64 hundredths is greater than 60 hundredths. 百分の64は百分の60より大きい。	$0.64 > 0.60$
	$0.64 > 0.6$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 1.120例題 1.120

Order

0.83___0.803

using

<

> .

英語のヒント

<

または

>

を使って

0.83___0.803

の大小を示せ。

Solution解答

Table 1.37表 1.37
	$0.83___0.803$
Write the numbers one under the other, lining up the decimals. 小数点をそろえ、上下に数を書く。	$\begin{matrix} 0.83 \\ 0.803 \end{matrix}$
They do not have the same number of digits. Write one zero at the end of 0.83. 桁数が違うので、0.83の末尾にゼロを一つ書き足す。	$\begin{matrix} 0.830 \\ 0.803 \end{matrix}$
Since $830 > 803$ , 830 thousandths is greater than 803 thousandths. $830 > 803$ なので、千分の830は千分の803より大きい。	$0.830 > 0.803$
	$0.83 > 0.803$

Try It (2)確認問題（2題）

When we order negative decimals, it is important to remember how to order negative integers. Recall that larger numbers are to the right on the number line. For example, because

−2

lies to the right of

−3

on the number line, we know that

−2 > −3 .

Similarly, smaller numbers lie to the left on the number line. For example, because

−9

lies to the left of

−6

on the number line, we know that

−9 < −6 .

See Figure 1.21.

英語のヒント

負の小数の大小を比べるときは、負の整数の比べ方を思い出そう。大きい数は数直線の右にある。たとえば

−2

は

−3

の右にあるので、

−2 > −3

である。同様に、小さい数は左にある。

−9

は

−6

の左にあるので、

−9 < −6

である。図1.21を見よう。

−10から0までの数直線。各整数に目盛りがあるが、点は示されていない。 — Figure 1.21図 1.21

If we zoomed in on the interval between 0 and

−1,

as shown in Example 1.121, we would see in the same way that

−0.2 > −0.3 and - 0.9 < −0.6 .

英語のヒント

例題1.121のように0から

−1

の区間を拡大すると、同じように

−0.2 > −0.3 と - 0.9 < −0.6

と分かる。

Example 1.121例題 1.121

Use

<

>

to order

−0.1___−0.8 .

英語のヒント

<

または

>

を使い、

−0.1___−0.8

の大小を示せ。

Solution解答

Table 1.38表 1.38
	$−0.1___−0.8$
Write the numbers one under the other, lining up the decimal points. They have the same number of digits. 小数点をそろえて、上下に数を書く。桁数は同じである。	$\begin{matrix} −0.1 \\ −0.8 \end{matrix}$
Since $−1 > −8$ , −1 tenth is greater than −8 tenths. $−1 > −8$ なので、十分の−1は十分の−8より大きい。	$−0.1 > −0.8$

Try It (2)確認問題（2題）