第1章基礎

Use the Order of Operations to Simplify Complex Fractions計算の順序に従って繁分数を簡単にする

We have seen that a complex fraction is a fraction in which the numerator or denominator contains a fraction. The fraction bar indicates division. We simplified the complex fraction

\frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{8}}

by dividing

\frac{3}{4}

\frac{5}{8} .

英語のヒント

繁分数とは、分子や分母に分数を含む分数である。分数線は割り算を示す。繁分数

\frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{8}}

は、

\frac{3}{4}

を

\frac{5}{8}

で割って簡単にした。

Now we’ll look at complex fractions where the numerator or denominator contains an expression that can be simplified. So we first must completely simplify the numerator and denominator separately using the order of operations. Then we divide the numerator by the denominator.

英語のヒント

今度は、分子や分母に、さらに簡単にできる式がある繁分数を考える。まず、演算の順序に従って分子と分母を別々に完全に簡単にし、その後に分子を分母で割る。

Example 1.85例題 1.85

How to Simplify Complex Fractions繁分数を簡単にする方法

Simplify:

\frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{4 + 3^{2}} .

英語のヒント

次の式を簡単にする：

\frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{4 + 3^{2}}

Solution解答

左に手順、右に数式を示す表。第1行は「手順1．分子を簡単にする。2分の1の2乗は、2分の1を2回掛けることを思い出そう」。右は、分子(1/2)²、分母4＋3²の繁分数で、次に分子を1/4にした式が続く。

次の行は「手順2．分母を簡単にする」。右には、分子1/4、分母4＋9の繁分数、その下に分母を13にした式がある。

最後は「手順3．分子を分母で割る。可能なら簡単にする。13＝13/1を思い出そう」。右には1/4÷13、次に1/4×1/13＝1/52とある。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 1.86例題 1.86

Simplify:

\frac{\frac{1}{2} + \frac{2}{3}}{\frac{3}{4} - \frac{1}{6}} .

英語のヒント

次の式を簡単にする：

\frac{\frac{1}{2} + \frac{2}{3}}{\frac{3}{4} - \frac{1}{6}}

Solution解答

It may help to put parentheses around the numerator and the denominator.

英語のヒント

分子と分母をそれぞれ括弧で囲むと分かりやすい。

Table 1.26表 1.26
	$\frac{(\frac{1}{2} + \frac{2}{3})}{(\frac{3}{4} - \frac{1}{6})}$
Simplify the numerator (LCD = 6) and simplify the denominator (LCD = 12). 分子を簡単にする（最小公分母は6）。分母を簡単にする（最小公分母は12）。	$\frac{(\frac{3}{6} + \frac{4}{6})}{(\frac{9}{12} - \frac{2}{12})}$
Simplify. 簡単にする。	$\frac{(\frac{7}{6})}{(\frac{7}{12})}$
Divide the numerator by the denominator. 分子を分母で割る。	$\frac{7}{6} \div \frac{7}{12}$
Simplify. 簡単にする。	$\frac{7}{6} \cdot \frac{12}{7}$
Divide out common factors. 共通の因数を割って取り除く。	$\frac{7 \cdot 6 \cdot 2}{6 \cdot 7}$
Simplify. 簡単にする。	$2$

Try It (2)確認問題（2題）

Evaluate Variable Expressions with Fractions分数を含む文字式の値を求める

We have evaluated expressions before, but now we can evaluate expressions with fractions. Remember, to evaluate an expression, we substitute the value of the variable into the expression and then simplify.

英語のヒント

これまでも式の値を求めたが、今度は分数を含む式にも取り組める。変数の値を式に代入し、その式を簡単にすることを思い出そう。

Example 1.87例題 1.87

Evaluate

x + \frac{1}{3}

when ⓐ

x = - \frac{1}{3}

ⓑ

x = - \frac{3}{4} .

英語のヒント

ⓐ

x = - \frac{1}{3}

、ⓑ

x = - \frac{3}{4}

のとき、

x + \frac{1}{3}

の値を求めよ。

Solution解答

ⓐ To evaluate $x + \frac{1}{3}$ when $x = - \frac{1}{3},$ substitute $- \frac{1}{3}$ for $x$ in the expression.
英語のヒント
ⓐ $x = - \frac{1}{3}$ のときの $x + \frac{1}{3}$ の値を求めるには、式の $x$ に $- \frac{1}{3}$ を代入する。

Simplify.
簡単にする。

0
ⓑ To evaluate $x + \frac{1}{3}$ when $x = - \frac{3}{4},$ we substitute $- \frac{3}{4}$ for x in the expression.
英語のヒント
ⓑ $x = - \frac{3}{4}$ のときの $x + \frac{1}{3}$ の値を求めるには、式のxに $- \frac{3}{4}$ を代入する。

Rewrite as equivalent fractions with the LCD, 12.
最小公分母12を使い、大きさの等しい分数に書き直す。

Simplify.
簡単にする。

Add.
足す。

$- \frac{5}{12}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 1.88例題 1.88

Evaluate

- \frac{5}{6} - y

when

y = - \frac{2}{3} .

英語のヒント

y = - \frac{2}{3}

のとき、

- \frac{5}{6} - y

の値を求めよ。

Solution解答



Rewrite as equivalent fractions with the LCD, 6. 最小公分母6を使い、大きさの等しい分数に書き直す。
Subtract. 引く。
Simplify. 簡単にする。	$- \frac{1}{6}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 1.89例題 1.89

Evaluate

2 x^{2} y

when

x = \frac{1}{4}

and

y = - \frac{2}{3} .

英語のヒント

x = \frac{1}{4}

、

y = - \frac{2}{3}

のとき、

2 x^{2} y

の値を求めよ。

Solution解答

Substitute the values into the expression.

英語のヒント

式に値を代入する。

	$2 x^{2} y$

Simplify exponents first. まず累乗を計算する。	$2 (\frac{1}{16}) (- \frac{2}{3})$
Multiply. Divide out the common factors. Notice we write 16 as $2 \cdot 2 \cdot 4$ to make it easy to remove common factors. 掛ける。共通の因数を割って取り除く。取り除きやすいように、16を $2 \cdot 2 \cdot 4$ と書いている。	$- \frac{2 \cdot 1 \cdot 2}{2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 3}$
Simplify. 簡単にする。	$- \frac{1}{12}$

Try It (2)確認問題（2題）

The next example will have only variables, no constants.

英語のヒント

次の例には変数だけがあり、定数はない。

Example 1.90例題 1.90

Evaluate

\frac{p + q}{r}

when

p = −4, q = −2, and r = 8 .

英語のヒント

p = −4, q = −2, と r = 8

のとき、

\frac{p + q}{r}

の値を求めよ。

Solution解答

To evaluate

\frac{p + q}{r}

when

p = −4, q = −2, and r = 8,

we substitute the values into the expression.

英語のヒント

p = −4, q = −2, と r = 8

のときの

\frac{p + q}{r}

の値を求めるため、式にそれぞれの値を代入する。

	$\frac{p + q}{r}$

Add in the numerator first. まず分子のたし算をする。	$\frac{−6}{8}$
Simplify. 簡単にする。	$- \frac{3}{4}$

Try It (2)確認問題（2題）

Key Concepts重要な概念

Fraction Addition and Subtraction: If $a, b, and c$ are numbers where $c \neq 0,$ then
$\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}$ and $\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a - b}{c} .$
To add or subtract fractions, add or subtract the numerators and place the result over the common denominator.
英語のヒント
分数の加法と減法： $a, b, と c$ が数で、 $c \neq 0$ を満たすとき、 $\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}$ かつ $\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a - b}{c}$ 。分子を足すか引き、その結果を共通の分母の上に置く。
Strategy for Adding or Subtracting Fractions
英語のヒント
分数を足す・引くための方針
1. Do they have a common denominator?
  Yes—go to step 2.
  No—Rewrite each fraction with the LCD (Least Common Denominator). Find the LCD. Change each fraction into an equivalent fraction with the LCD as its denominator.
  英語のヒント
  分母は共通か。はい――手順2へ進む。いいえ――最小公分母（LCD）を求め、それを分母とする等しい分数にそれぞれ直す。
2. Add or subtract the fractions.
  英語のヒント
  分数をたす、または引く。
3. Simplify, if possible. To multiply or divide fractions, an LCD IS NOT needed. To add or subtract fractions, an LCD IS needed.
  英語のヒント
  可能なら約分する。分数の乗法や除法には最小公分母は不要だが、加法や減法には必要である。
Simplify Complex Fractions
英語のヒント
繁分数を簡単にする
1. Simplify the numerator.
  英語のヒント
  分子を簡単にする。
2. Simplify the denominator.
  英語のヒント
  分母を簡単にする。
3. Divide the numerator by the denominator. Simplify if possible.
  英語のヒント
  分子を分母で割る。可能なら簡単にする。

Practice Makes Perfect練習問題

Exercises 425–434練習問題 425–434

Add and Subtract Fractions with a Common Denominator

英語のヒント

分母が同じ分数を足す・引く

In the following exercises, add.

英語のヒント

以下の問題では、足し算せよ。

Exercise 425問題 425

\frac{6}{13} + \frac{5}{13}

Solution解き方

\frac{11}{13}

Exercise 426問題 426

\frac{4}{15} + \frac{7}{15}

Exercise 427問題 427

\frac{x}{4} + \frac{3}{4}

Solution解き方

\frac{x + 3}{4}

Exercise 428問題 428

\frac{8}{q} + \frac{6}{q}

Exercise 429問題 429

- \frac{3}{16} + (- \frac{7}{16})

Solution解き方

- \frac{5}{8}

Exercise 430問題 430

- \frac{5}{16} + (- \frac{9}{16})

Exercise 431問題 431

- \frac{8}{17} + \frac{15}{17}

Solution解き方

\frac{7}{17}

Exercise 432問題 432

- \frac{9}{19} + \frac{17}{19}

Exercise 433問題 433

\frac{6}{13} + (- \frac{10}{13}) + (- \frac{12}{13})

Solution解き方

- \frac{16}{13}

Exercise 434問題 434

\frac{5}{12} + (- \frac{7}{12}) + (- \frac{11}{12})

Exercises 435–448練習問題 435–448

In the following exercises, subtract.

英語のヒント

次の練習問題では、ひき算をせよ。

Exercise 435問題 435

\frac{11}{15} - \frac{7}{15}

Solution解き方

\frac{4}{15}

Exercise 436問題 436

\frac{9}{13} - \frac{4}{13}

Exercise 437問題 437

\frac{11}{12} - \frac{5}{12}

Solution解き方

\frac{1}{2}

Exercise 438問題 438

\frac{7}{12} - \frac{5}{12}

Exercise 439問題 439

\frac{19}{21} - \frac{4}{21}

Solution解き方

\frac{5}{7}

Exercise 440問題 440

\frac{17}{21} - \frac{8}{21}

Exercise 441問題 441

\frac{5 y}{8} - \frac{7}{8}

Solution解き方

\frac{5 y - 7}{8}

Exercise 442問題 442

\frac{11 z}{13} - \frac{8}{13}

Exercise 443問題 443

- \frac{23}{u} - \frac{15}{u}

Solution解き方

- \frac{38}{u}

Exercise 444問題 444

- \frac{29}{v} - \frac{26}{v}

Exercise 445問題 445

- \frac{3}{5} - (- \frac{4}{5})

Solution解き方

\frac{1}{5}

Exercise 446問題 446

- \frac{3}{7} - (- \frac{5}{7})

Exercise 447問題 447

- \frac{7}{9} - (- \frac{5}{9})

Solution解き方

- \frac{2}{9}

Exercise 448問題 448

- \frac{8}{11} - (- \frac{5}{11})

Exercises 449–456練習問題 449–456

Mixed Practice

英語のヒント

総合練習

In the following exercises, simplify.

英語のヒント

次の練習問題では、式を簡単にする。

Exercise 449問題 449

- \frac{5}{18} \cdot \frac{9}{10}

Solution解き方

- \frac{1}{4}

Exercise 450問題 450

- \frac{3}{14} \cdot \frac{7}{12}

Exercise 451問題 451

\frac{n}{5} - \frac{4}{5}

Solution解き方

\frac{n - 4}{5}

Exercise 452問題 452

\frac{6}{11} - \frac{s}{11}

Exercise 453問題 453

- \frac{7}{24} + \frac{2}{24}

Solution解き方

- \frac{5}{24}

Exercise 454問題 454

- \frac{5}{18} + \frac{1}{18}

Exercise 455問題 455

\frac{8}{15} \div \frac{12}{5}

Solution解き方

\frac{2}{9}

Exercise 456問題 456

\frac{7}{12} \div \frac{9}{28}

Exercises 457–480練習問題 457–480

Add or Subtract Fractions with Different Denominators

英語のヒント

分母が異なる分数を足す・引く

In the following exercises, add or subtract.

英語のヒント

次の練習問題では、たし算またはひき算をせよ。

Exercise 457問題 457

\frac{1}{2} + \frac{1}{7}

Solution解き方

\frac{9}{14}

Exercise 458問題 458

\frac{1}{3} + \frac{1}{8}

Exercise 459問題 459

\frac{1}{3} - (- \frac{1}{9})

Solution解き方

\frac{4}{9}

Exercise 460問題 460

\frac{1}{4} - (- \frac{1}{8})

Exercise 461問題 461

\frac{7}{12} + \frac{5}{8}

Solution解き方

\frac{29}{24}

Exercise 462問題 462

\frac{5}{12} + \frac{3}{8}

Exercise 463問題 463

\frac{7}{12} - \frac{9}{16}

Solution解き方

\frac{1}{48}

Exercise 464問題 464

\frac{7}{16} - \frac{5}{12}

Exercise 465問題 465

\frac{2}{3} - \frac{3}{8}

Solution解き方

\frac{7}{24}

Exercise 466問題 466

\frac{5}{6} - \frac{3}{4}

Exercise 467問題 467

- \frac{11}{30} + \frac{27}{40}

Solution解き方

\frac{37}{120}

Exercise 468問題 468

- \frac{9}{20} + \frac{17}{30}

Exercise 469問題 469

- \frac{13}{30} + \frac{25}{42}

Solution解き方

\frac{17}{105}

Exercise 470問題 470

- \frac{23}{30} + \frac{5}{48}

Exercise 471問題 471

- \frac{39}{56} - \frac{22}{35}

Solution解き方

- \frac{53}{40}

Exercise 472問題 472

- \frac{33}{49} - \frac{18}{35}

Exercise 473問題 473

- \frac{2}{3} - (- \frac{3}{4})

Solution解き方

\frac{1}{12}

Exercise 474問題 474

- \frac{3}{4} - (- \frac{4}{5})

Exercise 475問題 475

1 + \frac{7}{8}

Solution解き方

\frac{15}{8}

Exercise 476問題 476

1 - \frac{3}{10}

Exercise 477問題 477

\frac{x}{3} + \frac{1}{4}

Solution解き方

\frac{4 x + 3}{12}

Exercise 478問題 478

\frac{y}{2} + \frac{2}{3}

Exercise 479問題 479

\frac{y}{4} - \frac{3}{5}

Solution解き方

\frac{5 y - 12}{20}

Exercise 480問題 480

\frac{x}{5} - \frac{1}{4}

Exercises 481–494練習問題 481–494

Mixed Practice

英語のヒント

総合練習

In the following exercises, simplify.

英語のヒント

次の練習問題では、式を簡単にする。

Exercise 481問題 481

ⓐ

\frac{2}{3} + \frac{1}{6}

ⓑ

\frac{2}{3} \div \frac{1}{6}

Solution解き方

ⓐ

\frac{5}{6}

ⓑ 4

Exercise 482問題 482

ⓐ

- \frac{2}{5} - \frac{1}{8}

ⓑ

- \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{8}

Exercise 483問題 483

ⓐ

\frac{5 n}{6} \div \frac{8}{15}

ⓑ

\frac{5 n}{6} - \frac{8}{15}

Solution解き方

ⓐ

\frac{25 n}{16}

ⓑ

\frac{25 n - 16}{30}

Exercise 484問題 484

ⓐ

\frac{3 a}{8} \div \frac{7}{12}

ⓑ

\frac{3 a}{8} - \frac{7}{12}

Exercise 485問題 485

- \frac{3}{8} \div (- \frac{3}{10})

Solution解き方

\frac{5}{4}

Exercise 486問題 486

- \frac{5}{12} \div (- \frac{5}{9})

Exercise 487問題 487

- \frac{3}{8} + \frac{5}{12}

Solution解き方

\frac{1}{24}

Exercise 488問題 488

- \frac{1}{8} + \frac{7}{12}

Exercise 489問題 489

\frac{5}{6} - \frac{1}{9}

Solution解き方

\frac{13}{18}

Exercise 490問題 490

\frac{5}{9} - \frac{1}{6}

Exercise 491問題 491

- \frac{7}{15} - \frac{y}{4}

Solution解き方

\frac{−28 - 15 y}{60}

Exercise 492問題 492

- \frac{3}{8} - \frac{x}{11}

Exercise 493問題 493

\frac{11}{12 a} \cdot \frac{9 a}{16}

Solution解き方

\frac{33}{64}

Exercise 494問題 494

\frac{10 y}{13} \cdot \frac{8}{15 y}

Exercises 495–516練習問題 495–516

Use the Order of Operations to Simplify Complex Fractions

英語のヒント

計算の順序に従って繁分数を簡単にする

In the following exercises, simplify.

英語のヒント

次の練習問題では、式を簡単にする。

Exercise 495問題 495

\frac{2^{3} + 4^{2}}{{(\frac{2}{3})}^{2}}

Solution解き方

Exercise 496問題 496

\frac{3^{3} - 3^{2}}{{(\frac{3}{4})}^{2}}

Exercise 497問題 497

\frac{{(\frac{3}{5})}^{2}}{{(\frac{3}{7})}^{2}}

Solution解き方

\frac{49}{25}

Exercise 498問題 498

\frac{{(\frac{3}{4})}^{2}}{{(\frac{5}{8})}^{2}}

Exercise 499問題 499

\frac{2}{\frac{1}{3} + \frac{1}{5}}

Solution解き方

\frac{15}{4}

Exercise 500問題 500

\frac{5}{\frac{1}{4} + \frac{1}{3}}

Exercise 501問題 501

\frac{\frac{7}{8} - \frac{2}{3}}{\frac{1}{2} + \frac{3}{8}}

Solution解き方

\frac{5}{21}

Exercise 502問題 502

\frac{\frac{3}{4} - \frac{3}{5}}{\frac{1}{4} + \frac{2}{5}}

Exercise 503問題 503

\frac{1}{2} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{12}

Solution解き方

\frac{7}{9}

Exercise 504問題 504

\frac{1}{3} + \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4}

Exercise 505問題 505

1 - \frac{3}{5} \div \frac{1}{10}

Solution解き方

−5

Exercise 506問題 506

1 - \frac{5}{6} \div \frac{1}{12}

Exercise 507問題 507

\frac{2}{3} + \frac{1}{6} + \frac{3}{4}

Solution解き方

\frac{19}{12}

Exercise 508問題 508

\frac{2}{3} + \frac{1}{4} + \frac{3}{5}

Exercise 509問題 509

\frac{3}{8} - \frac{1}{6} + \frac{3}{4}

Solution解き方

\frac{23}{24}

Exercise 510問題 510

\frac{2}{5} + \frac{5}{8} - \frac{3}{4}

Exercise 511問題 511

12 (\frac{9}{20} - \frac{4}{15})

Solution解き方

\frac{11}{5}

Exercise 512問題 512

8 (\frac{15}{16} - \frac{5}{6})

Exercise 513問題 513

\frac{\frac{5}{8} + \frac{1}{6}}{\frac{19}{24}}

Solution解き方

Exercise 514問題 514

\frac{\frac{1}{6} + \frac{3}{10}}{\frac{14}{30}}

Exercise 515問題 515

(\frac{5}{9} + \frac{1}{6}) \div (\frac{2}{3} - \frac{1}{2})

Solution解き方

\frac{13}{3}

Exercise 516問題 516

(\frac{3}{4} + \frac{1}{6}) \div (\frac{5}{8} - \frac{1}{3})

Exercises 517–526練習問題 517–526

Evaluate Variable Expressions with Fractions

英語のヒント

分数を含む文字式の値を求める

In the following exercises, evaluate.

英語のヒント

次の各問で、値を求めよ。

Exercise 517問題 517

x + (- \frac{5}{6})

when
ⓐ

x = \frac{1}{3}

ⓑ

x = - \frac{1}{6}

英語のヒント

ⓐ

x = \frac{1}{3}

、ⓑ

x = - \frac{1}{6}

のときの

x + (- \frac{5}{6})

Solution解き方

ⓐ

- \frac{1}{2}

ⓑ

−1

Exercise 518問題 518

x + (- \frac{11}{12})

when
ⓐ

x = \frac{11}{12}

ⓑ

x = \frac{3}{4}

英語のヒント

ⓐ

x = \frac{11}{12}

、ⓑ

x = \frac{3}{4}

のときの

x + (- \frac{11}{12})

Exercise 519問題 519

x - \frac{2}{5}

when ⓐ

x = \frac{3}{5}

ⓑ

x = - \frac{3}{5}

英語のヒント

ⓐ

x = \frac{3}{5}

、ⓑ

x = - \frac{3}{5}

のときの

x - \frac{2}{5}

Solution解き方

ⓐ

\frac{1}{5}

ⓑ

−1

Exercise 520問題 520

x - \frac{1}{3}

when ⓐ

x = \frac{2}{3}

ⓑ

x = - \frac{2}{3}

英語のヒント

ⓐ

x = \frac{2}{3}

、ⓑ

x = - \frac{2}{3}

のときの

x - \frac{1}{3}

Exercise 521問題 521

\frac{7}{10} - w

when ⓐ

w = \frac{1}{2}

ⓑ

w = - \frac{1}{2}

英語のヒント

ⓐ

w = \frac{1}{2}

、ⓑ

w = - \frac{1}{2}

のときの

\frac{7}{10} - w

Solution解き方

ⓐ

\frac{1}{5}

ⓑ

\frac{6}{5}

Exercise 522問題 522

\frac{5}{12} - w

when ⓐ

w = \frac{1}{4}

ⓑ

w = - \frac{1}{4}

英語のヒント

ⓐ

w = \frac{1}{4}

、ⓑ

w = - \frac{1}{4}

のときの

\frac{5}{12} - w

Exercise 523問題 523

2 x^{2} y^{3}

when

x = - \frac{2}{3}

and

y = - \frac{1}{2}

英語のヒント

x = - \frac{2}{3}

かつ

y = - \frac{1}{2}

のときの

2 x^{2} y^{3}

Solution解き方

- \frac{1}{9}

Exercise 524問題 524

8 u^{2} v^{3}

when

u = - \frac{3}{4}

and

v = - \frac{1}{2}

英語のヒント

u = - \frac{3}{4}

かつ

v = - \frac{1}{2}

のときの

8 u^{2} v^{3}

Exercise 525問題 525

\frac{a + b}{a - b}

when

a = −3, b = 8

英語のヒント

a = −3, b = 8

のときの

\frac{a + b}{a - b}

Solution解き方

- \frac{5}{11}

Exercise 526問題 526

\frac{r - s}{r + s}

when

r = 10, s = −5

英語のヒント

r = 10, s = −5

のときの

\frac{r - s}{r + s}



Rewrite as equivalent fractions with the LCD, 12. 最小公分母12を使い、大きさの等しい分数に書き直す。
Simplify. 簡単にする。
Add. 足す。	$- \frac{5}{12}$